Déterminer toutes les applications linéaires de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\).


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[ID: 1468] [Date de publication: 15 février 2021 14:43] [Catégorie(s): Rang d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 6
Par emmanuel le 15 février 2021 14:43

Soit \(f\in L\left(\mathbb{R}\right)\). Alors pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f\left(x\right)=xf\left(1\right)\). Posons \(a=f\left(1\right)\). Alors \(f:x\mapsto ax\). Réciproquement, si \(f\) est de cette forme alors \(f \in L\left(\mathbb{R}\right)\). On montre ainsi que \(L\left(\mathbb{R}\right)=\mathop{\mathrm{Vect}}\left(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_R\right)\).


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