Déterminer une base du noyau et de l’image des applications linéaires suivantes :

  1. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(y-z,z-x,x-y\right) \end{array} \right.\)

  2. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^4 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(x,y,z,t\right) & \longmapsto & \left(2x+y+z,x+y+t,x+z-t\right) \end{array} \right.\)

  3. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ z & \longmapsto & z+i\bar z \end{array} \right.\) (\(\mathbb{C}\) vu comme \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel)


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[ID: 1466] [Date de publication: 15 février 2021 14:43] [Catégorie(s): Rang d'une application linéaire ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1019
Par emmanuel le 15 février 2021 14:43
  1. On calcule \(\operatorname{Ker}f\). On sait que \(\left(x,y,z\right)\in\operatorname{Ker}f\) si et seulement si \(\begin{cases}y-z&=0\\z-x&=0\\x-y=0 \end{cases}\). On montre alors que \(x=y=z\) et donc \(\operatorname{Ker}f=\mathop{\mathrm{Vect}}\left(\left(1,1,1\right)\right)\). Le vecteur \(\left(1,1,1\right)\) forme une base de \(\operatorname{Ker}f\) et \(\dim \operatorname{Ker}f=1\). D’après la formule du rang, \(\dim \mathop{\mathrm{Im}}f=2\). Une base de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) est donc formée de deux vecteurs de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) non colinéaires. Il suffit de prendre par exemple \(f\left(1,0,0\right)=\left(0,-1,1\right)\) et \(f\left(0,1,0\right)=\left(1,0,-1\right)\).

  2. De même, on commence par déterminer \(\operatorname{Ker}f\). Pour ce faire, on résout \(\begin{cases} 2x+y+z&=0\\x+y+t&=0\\x+z-t&=0\end{cases}\). On trouve \(y=-2x-z\) et \(t=x+z\) donc \(\operatorname{Ker}f=\mathop{\mathrm{Vect}}\left(u_1,u_2\right)\) avec \(u_1=\left(1,-2,0,1\right)\) et \(u_2=\left(0,-1,1,1\right)\) qui sont non colinéaires. Une base de \(\operatorname{Ker}f\) est formée de ces deux vecteurs. D’après la formule du rang, \(\dim \mathop{\mathrm{Im}}f=2\) et il suffit de trouver deux vecteurs de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) non colinéaires pour avoir une base de \(\mathop{\mathrm{Im}} f\). On peut prendre \(f\left(1,0,0,0\right)=\left(2,1,1\right)\) et \(f\left(0,1,0,0\right)=\left(1,1,0\right)\).

  3. On calcule le noyau de \(f\). On trouve \(z={a+ib}\in\operatorname{Ker}f \Longleftrightarrow z+i\bar z=0 \Longleftrightarrow\left(a+b\right)\left(1+i\right)=0 \Longleftrightarrow a+b=0\). Donc \(\operatorname{Ker}f=\mathop{\mathrm{Vect}}\left(1-i\right)\) et le vecteur \(1-i\) forme une base de \(\operatorname{Ker}f\). De même, \(\mathop{\mathrm{Im}}f=\left\{z+i\bar z \mid z\in\mathbb{C}\right\}=\left\{\left(a+b\right)\left(1+i\right) \mid a,b\in\mathbb{R}\right\}=\mathop{\mathrm{Vect}}\left(1+i\right)\) et une base de \(\mathop{\mathrm{Im}} f\) est \(1+i\).


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