Soit \(\sigma \in \mathcal S _n\) (groupe symétrique) et \(f_\sigma : \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n , (x_{1},\dots x_n) \mapsto (x_{\sigma (1)},\dots,x_{\sigma (n)})\)

On munit \(\mathbb{K}^n\) de la structure d’algèbre pour les opérations composante par composante.

  1. Montrer que \(f_\sigma\) est un automorphisme d’algèbre.

  2. Soit \(\varphi\) un automorphisme d’algèbre de \(\mathbb{K}^n\).

    1. Montrer que la base canonique de \(\mathbb{K}^n\) est invariante par \(\varphi\) (étudier \(\varphi (e_i^2 )\) et \(\varphi (e_i\times e_j)\)).

    2. En déduire qu’il existe \(\sigma \in \mathcal S _n\) tel que \(\varphi = f_\sigma\).

  3. Montrer que \(\{ 0\}\), \(D=\mathbb{K}(1,\dots,1)\), \(H=\{ (x_1,\dots,x_n) \text{ tq }x_1 + \dots+ x_n = 0 \}\) et \(\mathbb{K}^n\) sont les seuls sev stables par tous les endomorphismes \(f_\sigma\).

Barre utilisateur

[ID: 3523] [Date de publication: 12 mars 2024 13:20] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Documents à télécharger

Permutation de coordonnées dans \(\mathbb{K}^n\)
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice