Suite de l’exercice p. .

Soit un anneau \((A, +, \times)\). On dit qu’il est régulier lorsque \[\forall u \in A,~ \exists x \in A ~: u = uxu.\] Montrer que si \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie, l’anneau \(L(E)\) est régulier.


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[ID: 1464] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 624
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40

On choisit une base de \(E\) : \((e_1,\ldots,e_n)\). Les \(u(e_k)\) appartiennent à l’image de \(u\). On considère une base \((f_1,\ldots,f_r)\) de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) que l’on complète avec \(f_{r+1},\ldots,f_n)\) de \(E\). On a \(f_k = u(x_k)\) pour \(1\leqslant k \leqslant r\). On pose \(x(f_k) = x_k\) pour \(1\leqslant k \leqslant r\) et \(x(f_k) = 0\) par exemple pour \(k > r\). On a alors \(u(x(f_k)) = u(x_k) = f_k\) pour \(1\leqslant k \leqslant r\). Donc pour tout \(v\in \mathop{\mathrm{Im}}f\), \(u(x(v)) = v\). A fortiori pour \(v = u(e_k),1\leqslant k \leqslant n\) et donc \(uxu = u\).


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