On note \(E\) l’espace vectoriel \(\mathbb{\mathbb{R} }_{n}[X]\) des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à \(n\). On définit l’application \[f : \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ P & \longmapsto & Q \end{array} \right.\]\(Q\) est définie par : \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad Q(x) = \int_0^1 (x+t)^n P(t)\mathrm{ \;d}t\] Montrez que \(f\) est un automorphisme de \(E\).


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[ID: 1462] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 197
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40

On vérifie d’abord que \(f\) est bien définie. Si \(P \in E\), en utilisant la formule du binôme, on obtient que \(\forall x \in E\), \[Q(x) = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} \left[\int_0^1 t^{n-k}P(t) \mathrm{ \;d}t\right] x^{k}\] ce qui montre que \(f(P)\) est une fonction polynomiale de degré inférieur à \(n\).

Il est immédiat que \(f\) est linéaire. Montrons l’injectivité de \(f\) en vérifiant que \(\operatorname{Ker}f = \{0\}\). Soit \(P \in E\) tel que \(f(P) = 0\). D’après le calcul précédent, \[\forall k \in \llbracket 0,n\rrbracket, \quad\int_0^1 t^k P(t) \mathrm{ \;d}t = 0\] Comme \(P(t) = \sum_{k=0}^n a_k t^k\), on obtient alors que \[\int_0^1 P^2(t) \mathrm{ \;d}t = \sum_{k=0}^n a_k \int_0^1 t^kP(t) \mathrm{ \;d}t = 0\] Donc \(\forall t \in [0, 1]\), \(P(t) = 0\), ce qui montre que le polynôme \(P\) a une infinité de racines et est donc nul.

Un endomorphisme injectif en dimension finie étant bijectif, \(f\) est un automorphisme de \(E\).


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