Soit un K-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) et un endomorphisme \(f\in L(E)\). Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes :

  1. \(E=\mathop{\mathrm{Im}}f + \operatorname{Ker}f\)

  2. \(E= \mathop{\mathrm{Im}}f \oplus \operatorname{Ker}f\)

  3. \(\mathop{\mathrm{Im}}f \cap \operatorname{Ker}f = \left\{ 0\right\}\)

  4. \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \mathop{\mathrm{Im}}f^2\)

  5. \(\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}f^2\).


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[ID: 1460] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 170
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40
  1. \(\boxed{1)\Rightarrow 2)}\) Comme \(E=\mathop{\mathrm{Im}}f + \operatorname{Ker}f\), en appliquant la formule de Grassmann puis la formule du rang, \(\dim \left(\mathop{\mathrm{Im}}f\cap \operatorname{Ker}f\right)=\dim \mathop{\mathrm{Im}}f+\dim \operatorname{Ker}f -\dim E =0\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}f\cap \operatorname{Ker}f=\left\{0\right\}\). Donc \(E=\mathop{\mathrm{Im}}f \oplus \operatorname{Ker}f\).

  2. \(\boxed{2)\Rightarrow 3)}\) Par définition.

  3. \(\boxed{3)\Rightarrow 2)}\) Par la formule du rang.

  4. \(\boxed{2)\Rightarrow 4)}\) Il est clair que \(\mathop{\mathrm{Im}}f^2 \subset \mathop{\mathrm{Im}}f\). Soit \(y\in\mathop{\mathrm{Im}}f\) alors il existe \(x=x_1+x_2\in \mathop{\mathrm{Im}}f \oplus \operatorname{Ker}f\) tel que \(y=f\left(x\right)\). Alors \(y=f\left(x_1\right)\in\mathop{\mathrm{Im}}f^2\) car \(x_1\in \mathop{\mathrm{Im}}f\). Donc \(\mathop{\mathrm{Im}}f \subset \mathop{\mathrm{Im}}f^2\) et on a bien \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \mathop{\mathrm{Im}}f^2\).

  5. \(\boxed{4)\Rightarrow 5)}\) Il est clair que \(\operatorname{Ker}f\subset \operatorname{Ker}f^2\). On utilise la formule du rang : \(n=\dim \operatorname{Ker}f + \dim \mathop{\mathrm{Im}}f = \dim \operatorname{Ker}f^2+\dim \mathop{\mathrm{Im}}f^2\). Comme \(\mathop{\mathrm{Im}}f = \mathop{\mathrm{Im}}f^2\), il vient que \(\dim \operatorname{Ker}f =\dim \operatorname{Ker} f^2\). Finalement, \(\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}f^2\).

  6. \(\boxed{5)\Rightarrow 4)}\) se prouve de la même façon.

  7. \(\boxed{5)\Rightarrow 3)}\) Soit \(x\in \mathop{\mathrm{Im}}f \cap \operatorname{Ker}f\) alors \(f\left(x\right)=0\) et il existe \(x_0\in E\) tel que \(x=f\left(x_0\right)\). Donc \(f^2\left(x_0\right)=0\) et \(x_0\in\operatorname{Ker}f^2=\operatorname{Ker}f\). Alors \(x=f\left(x_0\right)=0\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}f \cap \operatorname{Ker}f = \left\{ 0\right\}\).

  8. \(\boxed{3)\Rightarrow 1)}\) C’est une conséquence directe de la formule de Grassmann.

On vérifie que la chaine d’implications est bien fermée.


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