On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et un endomorphisme \(u \in L(E)\). Montrer qu’il existe un automorphisme \(v \in \mathrm{GL}_{ }(E)\) et un projecteur \(p \in L(E)\) tels que \(u = v \circ p\).


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[ID: 1458] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 582
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40

Si \(u\) est inversible, il suffit de prendre \(v = u\) et \(p = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). Sinon, notons \(r = \dim \operatorname{Ker}u\). D’après la formule du rang, on a \(n - r = \dim(\mathop{\mathrm{Im}}u)\) . Considérons une base \((e_1,\dots, e_r)\) de \(\operatorname{Ker}u\) et complétons-la en une base \(e = (e_1,\dots, e_r, e_{r+1},\dots, e_n)\) de \(E\). Posons \(f_{r+1} = u(e_{r+1}),\dots, f_n = u(e_n)\). On vérifie que cette famille est libre. Soient \(\alpha_{r+1},\dots,\alpha_n\in\mathbb{K}\) tels que \(\alpha_{r+1}f_{r+1}+\dots+\alpha_n f_n=0\) alors \(u\left(\alpha_{r+1}e_{r+1}+\dots+\alpha_n e_n\right)=0\) et \(\alpha_{r+1}e_{r+1}+\dots+\alpha_n e_n\in Vect\left(e_{r+1},\dots,e_n\right)\cap \operatorname{Ker} u=\left\{0\right\}\). Donc \(\alpha_{r+1}e_{r+1}+\dots+\alpha_n e_n=0\) mais comme \(\left(e_{r+1},\dots, e_n\right)\) est libre, \(\alpha_{r+1}=\dots=\alpha_n=0\). On complète alors cette famille en une base \(f = (f_1,\dots, f_r, f_{r+1},\dots, f_n)\) de \(E\). Définissons alors \(p\) le projecteur sur \(\mathop{\mathrm{Vect}}(e_{r+1},\dots, e_n)\) donné par \(p\left(e_i\right)=0\) si \(i\in\llbracket 1,r\rrbracket\) et \(p\left(e_i\right)=e_i\) si \(i\in\llbracket r+1,n\rrbracket\). Définissons aussi l’application linéaire \(v\) par \(v(e_i) = f_i\) pour tout \(i\in\llbracket 1,n\rrbracket\). Comme \(v\) envoie une base de \(E\) sur une base de \(E\), \(v\) est inversible. On vérifie facilement en calculant l’image des vecteurs de la base \(e\) que \(v\circ p = u\).


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