Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(u, v \in L(E)\). On suppose que \(E=\mathop{\mathrm{Im}}u+ \mathop{\mathrm{Im}}v=\operatorname{Ker}u + \operatorname{Ker}v\). Montrer que ces deux sommes sont directes.


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[ID: 1456] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 389
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40

On a : \[\begin{aligned} n&=& \dim \left(\mathop{\mathrm{Im}}u+ \mathop{\mathrm{Im}}v\right) \textrm{ car } E=\mathop{\mathrm{Im}}u + \mathop{\mathrm{Im}}v \\ &=& \dim \mathop{\mathrm{Im}}u +\dim \mathop{\mathrm{Im}}v - \dim\left(\mathop{\mathrm{Im}}u\cap \mathop{\mathrm{Im}}v\right) \textrm{ d'après la formule de Grassmann}\\ &=& n-\dim \operatorname{Ker}u + n-\dim \operatorname{Ker}v - \dim\left(\mathop{\mathrm{Im}}u\cap \mathop{\mathrm{Im}}v\right) \textrm{ d'après la formule du rang}\\ &=& 2n - \left(\dim \left(\operatorname{Ker}u+\operatorname{Ker}v\right)+\dim \left(\operatorname{Ker}u \cap \operatorname{Ker}v\right)\right) - \dim\left(\mathop{\mathrm{Im}} u\cap \mathop{\mathrm{Im}}v \right) \textrm{ à nouveau d'après la formule de Grassmann}\\ &=& 2n-n - \dim \left(\operatorname{Ker}u \cap \operatorname{Ker}v\right) - \dim\left(\mathop{\mathrm{Im}} u\cap \mathop{\mathrm{Im}}v \right) \textrm{ car } E=\operatorname{Ker}u + \operatorname{Ker}v\end{aligned}\] donc \(0= \dim \left(\operatorname{Ker}u \cap \operatorname{Ker}v\right) + \dim\left(\mathop{\mathrm{Im}} u\cap \mathop{\mathrm{Im}}v \right)\) et ceci n’est possible que si \(\dim \left(\operatorname{Ker}u \cap \operatorname{Ker} v\right)=\dim\left(\mathop{\mathrm{Im}} u\cap \mathop{\mathrm{Im}}v \right)=0\). On en déduit que les deux sommes sont directes.


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