Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) et deux endomorphismes \((f,g)\) de \(E\) vérifiant : \[f\circ g\circ f=f \textrm{ et } g\circ f\circ g=g\]

  1. Montrer que \(E= \operatorname{Ker}f \oplus \mathop{\mathrm{Im}}g\).

  2. Montrer que \(\mathop{\mathrm{rg}}(f)=\mathop{\mathrm{rg}}(g)=\mathop{\mathrm{rg}}(g\circ f)=\mathop{\mathrm{rg}}(f\circ g)\).


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[ID: 1454] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 469
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40
  1. Soit \(y\in \mathop{\mathrm{Im}}g\cap \operatorname{Ker}f\). Il existe \(x\in E\) tel que \(y=g(x)=g\circ f\circ g(x)=g\circ f(y)=0\) car \(y\in\operatorname{Ker}f\). Donc \(\operatorname{Ker}f\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}g\) sont en somme directe. Soit \(x\in E\), on écrit \(x=[x-g\circ f(x)]+g\circ f(x)\). On a \(f\left(x-g\circ f(x)\right)=f\left(x\right)-f\circ g \circ f\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x\right)=0\) donc \(x-gof(x)\in \operatorname{Ker}f\). Il est clair que \(g\circ f\left(x\right)\in \mathop{\mathrm{Im}}g\). Donc \(E=\operatorname{Ker}f + \mathop{\mathrm{Im}}g\). En conclusion, on a bien \(E= \operatorname{Ker}f \oplus \mathop{\mathrm{Im}}g\).

  2. D’après le théorème du rang, \(\dim E = \dim \operatorname{Ker}f + \mathop{\mathrm{rg}}f\) et d’après la question précédente, \(\dim \operatorname{Ker}f + \mathop{\mathrm{rg}}g\) d’où \(\mathop{\mathrm{rg}}f = \mathop{\mathrm{rg}}g\). Comme \(g\circ f\circ g=g\), on a que \(\mathop{\mathrm{Im}}g \subset \mathop{\mathrm{Im}}(g\circ f)\) ce qui implique que \(\mathop{\mathrm{rg}}g \leqslant\mathop{\mathrm{rg}}g\circ f\). De même, comme \(\mathop{\mathrm{Im}}g\circ f \subset \mathop{\mathrm{Im}}g\) alors \(\mathop{\mathrm{rg}}g\circ f\leqslant\mathop{\mathrm{rg}}g\) et on on obtient que \(\mathop{\mathrm{rg}}g = \mathop{\mathrm{rg}}g\circ f\). On fait de même pour la seconde égalité.


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