Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et soit \(f\in L(E)\) un endomorphisme de rang 1.

  1. Montrer qu’il existe un scalaire \(\lambda \in K\) tel que \(f^2= \lambda f\).

  2. A quelle condition sur le scalaire \(\lambda\), \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-f)\) est-il inversible ? Calculer alors \((\mathop{\mathrm{id}}\nolimits-f)^{-1}\).


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[ID: 1452] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 807
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40
  1. Comme \(\mathop{\mathrm{rg}}f=1\), il existe un vecteur \(e_1\in E\) tel que \(\mathop{\mathrm{Im}}f= Vect(e_1)\). On complète le vecteur \(e_1\) en une base \(\left(e_1,\dots,e_n\right)\) de \(E\). Comme \(\mathop{\mathrm{Im}}f=Vect\left(e_1\right)\), pour tout \(i\in\llbracket 1,n\rrbracket\), il existe \(\lambda_i\in \mathbb{K}\) tel que \(f(e_i)=\lambda_i e_1\). Donc \(f^2(e_i)=f\left(\lambda_i e_1\right)=\lambda_i \lambda_1 e_1=\lambda_1 f\left(e_i\right)\). Si \(x\in E\) alors il existe \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in \mathbb{K}\) tels que \(x=\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\) et \[f^2\left(x\right)=\sum_{i=1}^n \alpha_i f^2\left(e_i\right)=\lambda_1 \sum_{i=1}^n \alpha_i f\left(e_i\right)=\lambda_1 f\left(x\right).\] Posons alors \(\lambda=\lambda_1\). On a bien \(f^2\left(x\right)=\lambda f\left(x\right)\) pour tout \(x\in E\).

  2. Remarquons que \((f-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)(f+(1-\lambda)\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)=(\lambda-1)\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). On en tire une condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits- f\) soit inversible : il faut et il suffit que \(\lambda \neq 1\). On calcule alors \(\boxed{(\mathop{\mathrm{id}}\nolimits -f)^{-1}=\dfrac{1}{1-\lambda}(f+(1-\lambda)\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)}\).


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