Soit un espace vectoriel \(E\) de dimension 3 et un endomorphisme \(u\) de E tel que \(u^2\)=0. Montrer que \[\exists a\in E: \quad\exists f\in E^{\star}: \quad \forall x \in E, \quad u(x)=f(x)\,\cdot\,a\]
( ).
Traduire en terme d’image et de noyau la relation \(u^2 = 0\). Introduire ensuite une base de \(\operatorname{Ker}u\) et la compléter. Définir \(f\) à l’aide de cette base.

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[ID: 1450] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 404
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40

La relation \(u^2=0\) donne que \(\mathop{\mathrm{Im}}u \subset \operatorname{Ker}u\) (le montrer). D’après le théorème du rang, \[3=\dim (\operatorname{Ker}u) + \mathop{\mathrm{rg}}u \leqslant 2\dim (\operatorname{Ker}u)\] ce qui implique que \(\dim (\operatorname{Ker}u) \geqslant 2\). Si \(\dim (\operatorname{Ker}u) = 3\), alors \(u=0\) et le résultat est évident avec \(f=0\) et \(a\) quelconque.

Supposons donc que \(\dim (\operatorname{Ker}u) = 2\). Alors d’après le théorème du rang, \(\dim (\mathop{\mathrm{Im}}u) = 1\). C’est une droite vectorielle : \(\exists a \in E\), \(a\neq 0\) tel que \(\mathop{\mathrm{Im}}u = \mathop{\mathrm{Vect}}(a)\). Considérons une base \((e_1,e_2)\) de \(\operatorname{Ker}u\) et complétons-la en une base \((e_1,e_2,e_3)\) de \(E\). Puisque \(u\neq 0\), \(u(e_3)\neq 0\) et donc \(\exists c\in \mathbb{R}\) tq \(u(e_3)=ca\). Définissons la forme linéaire \(f\) en se donnant l’image de la base \(e\) par \(f\) : \(f(e_1)=0\), \(f(e_2)=0\) et \(f(e_3)=c\). Soit alors \(x\in E\). Décomposons \(x\) dans la base \(e\) : \(x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\). Alors \(u(x)=x_3ca = x_3f(e_3)a=f(x)a\).


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