Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\). Pour tout \(p\in \mathbb{N}\), on note : \[K_p=\operatorname{Ker}f^p \quad \textrm{ et} \quad I_p=\mathop{\mathrm{Im}}f^p.\]

  1. Montrer que : \[\forall p\in\mathbb{N},\quad K_p\subset K_{p+1} \quad \textrm{ et} \quad I_{p+1}\subset I_p.\]

  2. Prouver qu’il existe un plus petit entier naturel \(r\leqslant n\) tel que : \(\forall i\geqslant r,\quad K_i=K_{i+1}\).

  3. Montrer de même que :\[\forall i\geqslant r,\quad I_i=I_{i+1}.\]

  4. Montrer que : \(E=K_r \oplus I_r\).


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[ID: 1448] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Un grand classique
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40
  1. Soit \(p\in\mathbb{N}\) et soit \(x\in K_p\). Alors \(f^{p+1}\left(x\right)=f\left(f^{p}\left(x\right) \right)=0\) car \(f^p\left(x\right)=0\). Donc \(x\in K^{p+1}\) et \(K_p\subset K_{p+1}\). Considérons maintenant \(y\in I_{p+1}\). Alors il existe \(x\in E\) tel que : \(y=f^{p+1}\left(x\right)=f^{p}\left(f\left(x\right)\right)\) et donc \(y\in I_p\) et \(I_{p+1}\subset I_p\)

  2. Pour tout \(p\in\mathbb{N}\), \(K_p\subset K_{p+1}\) donc : \(\dim K_p \leqslant\dim K_{p+1}\) et la suite \(\left(\dim K_p\right)\) est croissante. Comme \(K_p\subset E\), on a aussi : \(\dim K_p\leqslant n\). La suite \(\left(\dim K_p\right)\) est donc majorée. Appliquant le théorème de la limite monotone elle est convergente mais, ses valeurs étant entières, cela équivaut au fait qu’elle est constante à partir d’un certain rang \(r\in\mathbb{N}\). \(r\) est le plus petit entier naturel tel que \(\forall i\geqslant r,\quad K_i=K_{i+1}\).

  3. D’après la formule du rang et le résultat précédent, on montre que \(\forall i\geqslant r,\quad I_i=I_{i+1}\).

  4. Soit \(y\in K_r \cap I_r\). Effectuons un raisonnement par l’absurde en supposant que \(y\neq 0\). Alors \(f^{r}\left(y\right)=0\) et il existe \(x\in E\) tel que \(y=f^{r}\left(x\right)\). Il vient donc : \(f^{2r}\left(x\right)=0\). Mais comme \(y=f^{r}\left(x\right)\neq 0\), il existe \(r'\in\llbracket r+1,2r\rrbracket\) tel que \(f^{r'}\left(x\right)=0\). On a donc \(x\in K_{r'}\) et \(x\not \in K_r\) ce qui contredit le fait que la suite \(\left(K_r\right)\) est constante à partir du rang \(r\). On en déduit que \(y=0\) et que \(K_r \cap I_r =\left\{0\right\}\). Il vient alors que : \(\dim\left(K_r + I_r\right) = \dim K_r + \dim I_r= \dim {\rm Ker}\,f^r + \dim \mathop{\mathrm{Im}}f^r=n\) par application de la formule du rang et de ce fait : \(K_r+I_r=E\). En résumé : \(E=K_r \oplus I_r\).


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