Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension finie \(n\geqslant 2\).

  1. Démontrer que les homothéties sont les seuls endomorphismes \(f\) de \(E\) tels que : \[\forall x\in E,\quad \left(x,f\left(x\right)\right) \textrm{ est une famille liée}.\]

  2. En déduire que les homothéties sont les seuls endomorphismes de \(E\) qui commutent avec tout autre endomorphisme.

( ).
Pour tout \(x\in E\), on pourra considérer une projection sur \(Vect\left(x\right)\)).

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[ID: 1446] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Endomorphisme commutant avec tous les autres
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40
  1. Les homothéties vérifient clairement la propriété indiquée. Réciproquement, on sait par hypothèse que \(\forall x\in E,\exists \lambda_x\in \mathbb{K}\mid f(x) = \lambda_xx\). Il s’agit donc de démontrer que l’on peut choisir le même \(\lambda\) pour tous les \(x\). Autrement dit, si l’on choisit deux vecteurs \(x\) et \(y\), on peut prendre \(\lambda_x = \lambda_y\).

    \(\blacktriangleright\) Si \((x,y)\) est libre, alors, comme  : \(\left(\lambda_{x+y}-\lambda_x\right)x+\left(\lambda_{x+y}-\lambda_y\right)y=0\) il vient que \(\lambda_{x+y}=\lambda_y=\lambda_x\).

    \(\blacktriangleright\) Sinon \(x\) et \(y\) sont colinéaires et il existe \(\alpha\in\mathbb{R}\) tel que \(y=\alpha x\) et \[f\left(y\right)=f\left(\alpha x\right)=\lambda_{\alpha x}\alpha x=\alpha f\left(x\right)=\alpha \lambda_x x\] et on peut prendre \(\lambda_{\alpha x}= \lambda\). On a ainsi montré que pour tout vecteur \(y\in E\), \(f\left(y\right)=\lambda y\). Donc \(f\) est une homothétie de rapport \(\lambda\).

  2. Considérons \(f\) un endomorphisme de \(E\) qui commute avec tous les endomorphismes de \(E\). Soit \(x\) un vecteur non nul de \(E\) et soit \(\Pi\) la projection de \(E\) sur \(Vect\left(x\right)\) parallèlement à un supplémentaire donné de \(Vect\left(x\right)\) dans \(E\) (qui existe car \(E\) est de dimension finie). Comme \(f\) et \(\Pi\) commute, on a : \(\Pi\left(f\left(x\right)\right)=f\left(\Pi\left(x\right)\right)=f\left(x\right)\). Donc comme \(\Pi\left(f\left(x\right)\right) \in Vect\left(x\right)\), \(f\left(x\right)\) et \(x\) sont liés. \(x\) étant quelconque non nul, ce résultat est vrai pour tout \(x\in E \setminus\left\{x\right\}\). Ce résultat est aussi clairement vérifié par le vecteur nul. D’après la première question, on peut affirmer que \(f\) est une homothétie. Réciproquement, une homothétie commute avec tous les endomorphismes de \(E\).


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