Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\). On considère l’ensemble \(A= \{ (u,v) \in L(E)^2 \mid u\circ v=0 \}\). Déterminer \(\sup \{ \mathop{\mathrm{rg}}u + \mathop{\mathrm{rg}}v \mid (u,v)\in A \}\).


Barre utilisateur

[ID: 1444] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 928
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40

L’égalité \(u\circ v=0\) amène \(\mathop{\mathrm{Im}}v \subset \operatorname{Ker}u\) et donc d’après la formule du rang \(\mathop{\mathrm{rg}}u + \mathop{\mathrm{rg}}v \leqslant\mathop{\mathrm{rg}}u + \dim \operatorname{Ker}u= n\). Pour \(u=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et \(v=0\), il y a égalité. Donc \(\boxed{\sup \{ \mathop{\mathrm{rg}}u + \mathop{\mathrm{rg}}v \mid (u,v)\in A \}=n}\)


Documents à télécharger