Soit un K-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) et deux endomorphismes \(f,g\) de \(E\) vérifiant \(f\circ g=0\) et \(f+g \in GL(E)\). Montrer que \(\mathop{\mathrm{rg}}(f) + \mathop{\mathrm{rg}}(g)=n\).


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[ID: 1442] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 948
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40
  • Comme \(f\circ g=0\) alors \(\mathop{\mathrm{Im}}g \subset \operatorname{Ker}f\) et d’après la formule du rang \(\mathop{\mathrm{rg}}f + \mathop{\mathrm{rg}}g \leqslant\mathop{\mathrm{rg}}f + \dim \operatorname{Ker}f= n\).

  • D’autre part, comme \(f+g \in GL(E)\) alors \(n=\mathop{\mathrm{rg}}(f+g) \leqslant\mathop{\mathrm{rg}}f + \mathop{\mathrm{rg}} g\) car \(\mathop{\mathrm{Im}}\left(f+g\right)\subset \mathop{\mathrm{Im}}f + \mathop{\mathrm{Im}}g\).

L’égalité est ainsi prouvée


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