Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et deux sous-espace vectoriel \(E_1, E_2\) de \(E\). Montrer que : \[\left(\exists u \in L(E)~\mid \operatorname{Ker}u=E_1 \textrm{ et } \mathop{\mathrm{Im}} u=E_2 \right) \Longleftrightarrow (\dim E= \dim E_1 + \dim E_2)\]
( ).
Pour la réciproque,construire une base de \(E\) en complétant une base de \(E_1\). Définir alors \(u\) en se donnant l’image de cette base.

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[ID: 1440] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1000
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40
  • \(\boxed{(i)\Rightarrow (ii)}\) : Le sens direct est une conséquence directe de la formule du rang : \(\dim E = \dim \operatorname{Ker}u + \mathop{\mathrm{rg}}u = \dim E_1 + \dim E_2\).

  • \(\boxed{(ii)\Rightarrow (i)}\) : si \(E_1=\{0\}\), alors \(\dim E_2=\dim E\) donc \(E_2=E\). En posant \(u=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\), on vérifie que \(u\) convient. De même si \(E_2=\{0\}\), \(u=0\) convient. Supposons maintenant que \(E_1 \neq \{0\}\) et \(E_2 \neq \{0\}\). Alors, il existe une base \((e_1,\dots,e_p)\) de \(E_1\) (où \(p=\dim E_1\)). Complétons cette base en une base de \(E\) : \(e=(e_1,\dots,e_p,e_{p+1},\dots,e_n)\). Comme \(\dim E_2 = n-p\), il existe une base \(f\) de \(E_2\) de la forme \((f_{p+1},\dots,f_n)\). Définissons alors \(u\) en se donnant l’image de la base \(e\) : \[\forall i \in \llbracket 1,p\rrbracket, u(e_i)=0, \quad\forall i \in \llbracket p+1,n\rrbracket, u(e_i)=f_{i+1}\] Alors, \(\forall x \in E_1\), \(u(x)=0\) donc \(E_1\subset \operatorname{Ker}u\). Soit \(x\in \operatorname{Ker}u\), décomposons \(x\) dans \(e\). \[x=x_1e_1+\dots+x_pe_p+x_{p+1}e_{p+1}+\dots +x_ne_n\] \(u(x)=x_{p+1}f_{p+1}+\dots+x_nf_n=0\). Mais comme \(f\) est libre, il vient que \(x_{p+1}=\dots=x_n=0\) et donc que \(x\in E_1\).

    D’autre part, \(\mathop{\mathrm{Im}}u =\mathop{\mathrm{Vect}}( u(e_1),\dots,u(e_n))=\mathop{\mathrm{Vect}}(f_{p+1},\dots f_n)=E_2\).


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