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Exercice 82
Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\), un vecteur \(x_0\) de \(E\) et un endomorphisme \(f\in L(E)\) tel que \((f(x_0), f^2(x_0),\dots , f^n(x_0))\) soit libre.
Montrer que la famille \((x_0,f(x_0), \dots, f^{n-1}(x_0) )\) est une base de \(E\).
Montrer que \(f\) est inversible.
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[ID: 1436] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 82
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 14:40
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 15 février 2021 14:40
Soit \(\alpha_0,\dots,\alpha_{n-1}\in\mathbb{K}\) tels que \(\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i f^{i}\left(x_0\right)=0\). Alors \(f\left(\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i f^{i}\left(x_0\right)\right)=0\) ce qui s’écrit aussi \(\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i f^{i+1}\left(x_0\right)\). Mais la famille \((f(x_0), f^2(x_0),\dots , f^n(x_0))\) est libre donc \(\alpha_0=\dots=\alpha_{n-1}=0\) ce qui prouve que la famille \((x_0,f(x_0), \dots, f^{n-1}(x_0) )\) est libre
Comme \(\dim E=n\), les familles \((x_0,f(x_0), \dots, f^{n-1}(x_0) )\) et \((f(x_0), f^2(x_0),\dots , f^n(x_0))\) sont des bases de \(E\). Comme l’image de la première base par \(f\) est la seconde base, \(f\) est forcément inversible.
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