On considère un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et un endomorphisme \(u \in L(E)\). Soit un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\). On suppose que \(F \subset u(F)\).

  1. On suppose que \(E\) est de dimension finie. Montrer que \(u(F) = F\).

  2. Trouver un contre-exemple lorsque \(E\) est de dimension infinie.

( ).
Pour la deuxième question, on pourra étudier \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}[X] \\ P & \longmapsto & P' \end{array} \right.\) avec \(F = \{XP~;~ P \in E\}\).

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[ID: 1432] [Date de publication: 15 février 2021 14:40] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1017
Par emmanuel le 15 février 2021 14:40
  1. Considérons la restriction de \(u\) à \(F\) : \(u_{|F}:F\rightarrow E\). Alors d’après la formule du rang, \(\dim u\left(F\right)=\dim V-\dim \operatorname{Ker}u\leqslant\dim V\). Comme \(F\subset u\left(F\right)\), on a aussi que \(\dim F \leqslant\dim u\left(F\right)\). Donc \(\dim F=\dim u\left(F\right)\) et \(F=u\left(F\right)\).

  2. En considérant \(E = \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\) et \(F = \{XP~;~ P \in E\}\), l’application \(u : P \mapsto P'\) fournit un contre-exemple puisque \(u(F) = E \neq F\).


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