On considère l’application linéaire \[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{ }[X] & \longrightarrow & \mathbb{R}_{ }[X] \newline P & \longmapsto & P+P'+P'' \end{array} \right.\]

  1. Montrer que l’endomorphisme \(\varphi\) est injectif.

  2. Montrer que l’endomorphisme \(\varphi\) est surjectif.

( ).
Pour montrer la surjectivité, étudier la restriction de \(\varphi\) à \(\mathbb{R}_{n}[X]\) qui est un espace de dimension finie.

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[ID: 1428] [Date de publication: 15 février 2021 14:39] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 365
Par emmanuel le 15 février 2021 14:39
  1. Soit un polynôme \(P\in \mathbb{R}_{ }[X]\) tel que \(P+P'+P''=0\), soit \(P= -(P'+P'')\). Si l’on suppose que \(P\neq 0\), on a \(\deg P \leqslant\deg P - 1\) , une absurdité. Donc \(\varphi\) est injective.

  2. Soit un entier \(n\in \mathbb N\). Notons \(\varphi_n\) la restriction de \(\varphi\) à \(\mathbb{R}_{n}[X]\). Alors, si \(P\in \mathbb{R}_{n}[X]\), \(\varphi_n(P)=P+P'+P'' \in \mathbb{R}_{n}[X]\) car \(\deg(\varphi_n(P))\leqslant\max( \deg P, \deg P', \deg P'') \leqslant n\). Donc \(\varphi_n\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_{n}[X]\) injectif, donc surjectif, car \(\mathbb{R}_{n}[X]\) est un espace de dimension finie \(n+1\).

    Soit alors \(P\in \mathbb{R}_{ }[X]\). Notons \(n=\deg P\). Alors \(P\in \mathbb{R}_{n}[X]\) et donc \(\exists Q \in \mathbb{R}_{n}[X]\) tel que \(\varphi_n(Q)=P\). Mais alors \(\varphi(Q)=P\) et on a donc montré que \(\varphi\) est surjective !


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