Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(F=\left\{P\in\mathbb{R}_n\left[X\right]~|~ P\left(a\right)=0\right\}\).

  1. Prouver que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\). Déterminer sa dimension.

  2. Déterminer un supplémentaire de \(F\) dans \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\).


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[ID: 1426] [Date de publication: 15 février 2021 14:39] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 740
Par emmanuel le 15 février 2021 14:39
  1. Posons \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_{n}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ P & \longmapsto & P\left(a\right) \end{array} \right.\). On vérifie facilement que \(\theta\) est linéaire et surjective. De plus \(F={\rm Ker}\,\theta\). Donc \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\). D’après la formule du rang, \(\dim F=\dim \operatorname{Ker}\theta = \dim \mathbb{R}_n\left[X\right]-\dim \mathbb{R}=n\).

  2. Notons \(G=\mathbb{R}_0\left[X\right]\). \(G\) est clairement un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_n\left[X\right]\) de dimension \(1\). On vérifie facilement que \(G\) est en somme directe avec \(F\). Comme de plus \(\dim \left(F+G\right) = \dim F+\dim G=n+1= \dim \mathbb{R}_n\left[X\right]\), on a \(\mathbb{R}_n\left[X\right]=F+G\). En conclusion, \(\mathbb{R}_n\left[X\right]=F\oplus G\).


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