Soit \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_3\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP'-2P \end{array} \right.\).

  1. Montrer que \(\theta\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_3\left[X\right]\).

  2. Déterminer \(\mathop{\rm Im}\theta\) et en déduire le rang de \(\theta\).

  3. Donner la dimension de \(\operatorname{Ker}\theta\) et déterminer \(\operatorname{Ker}\theta\).


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[ID: 1424] [Date de publication: 15 février 2021 14:39] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 665
Par emmanuel le 15 février 2021 14:39
  1. Si \(P\in\mathbb{R}_3\left[X\right]\), il est clair que \(\deg \left(XP'-2P\right) \leqslant 3\) et donc que \(\theta\left(P\right)\in\mathbb{R}_3\left[X\right]\). Soient \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) et \(P,Q\in\mathbb{R}_3\left[X\right]\) alors \[\theta\left(\alpha P + \beta Q\right) = X\left(\alpha P + \beta Q\right)'-2\left(\alpha P + \beta Q\right)= \alpha\left(XP'-2P\right)+\beta\left(XQ'-2Q\right)=\alpha \theta \left(P\right)+\beta \theta\left(Q\right)\] donc \(\theta\) est linéaire.

  2. Soit \(P=aX^3+bX^2+cX+d\in\mathbb{R}_3\left[X\right]\). On calcule que \(\theta\left(P\right)=aX^3-cX-2d.\) Donc \(\mathop{\mathrm{Im}}\theta=Vect\left(1,X,X^3\right)\). La famille \(\left(1,X,X^3\right)\) étant libre, il vient que \(\mathop{\mathrm{rg}}\theta=3\).

  3. D’après la formule du rang, \(\dim \operatorname{Ker}\theta=1\). Comme \(\theta\left(X^2\right)=0\), \(\operatorname{Ker}\theta=Vect\left(X^2\right)\).


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