On considère \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^{4} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2} \\ (x,y,z,t) & \longmapsto & (2x+y, t-x) \end{array} \right.\)

  1. Montrer que \(u\) est une application linéaire et déterminer \(\operatorname{Ker}u\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}u\).

  2. La famille \(\left( (u(1,0,0,0), u(1,1,1,1)\right)\) est-elle libre dans \(\mathbb{R}^{2}\)?


Barre utilisateur

[ID: 1422] [Date de publication: 15 février 2021 14:39] [Catégorie(s): Applications linéaires en dimension finie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 572
Par emmanuel le 15 février 2021 14:39
  1. On vérifie facilement que \(u\) est linéaire. On a \[\operatorname{Ker} u=\left\{\left(x,y,z,t\right)\in\mathbb{R}^4 ~|~ \left\{ \begin{aligned} 2x&+y&& &=0\cr -x&&&+t&=0 \end{aligned}\right.\right\} =\left\{\left(x,-2x,z,x\right)~|~ x,z\in\mathbb{R}\right\}=Vect\left(e_1,e_2\right)\] avec \(e_1=\left(1,-2,0,1\right)\) et \(e_2=\left(0,0,1,0\right)\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc ils forment une base de \(\operatorname{Ker}u\). Alors \(\dim \operatorname{Ker}u=2\) et d’après la formule du rang \(\dim \mathop{\mathrm{Im}}u=2\). Comme \(\mathop{\mathrm{Im}}u\subset \mathbb{R}^2\) et que \(\dim \mathbb{R}^2=2\), il vient que \(\mathop{\mathrm{Im}}u=\mathbb{R}^2\) et donc que \(u\) est surjective.

  2. Comme \(u\left(1,0,0,0\right)=\left(2,-1\right)\) et que \(u\left(1,1,1,1\right)=\left(3,0\right)\) et que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre de \(\mathbb{R}^2\).


Documents à télécharger