Dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(\mathscr F\left([0,1[,\mathbb{R}\right)\), on considère: \[f_1 : x \mapsto \sqrt{{\scriptstyle 1+x\over\scriptstyle 1-x}} \quad f_2 : x \mapsto \sqrt{{\scriptstyle 1-x\over\scriptstyle 1+x}}\] \[f_3 : x \mapsto {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{1-x^2}} \quad f_4 : x \mapsto {\scriptstyle x\over\scriptstyle\sqrt{1-x^2}}\] Quel est le rang de la famille \(\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)\)?


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[ID: 1420] [Date de publication: 15 février 2021 14:33] [Catégorie(s): Rang d'une famille de vecteurs ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 547
Par emmanuel le 15 février 2021 14:33

Pour tout \(x\in[0,1[\), \(f_1\left(x\right)= {\scriptstyle 1+x\over\scriptstyle\sqrt{1-x^2}}=f_3\left(x\right)+f_4\left(x\right)\) et \(f_2\left(x\right)= {\scriptstyle 1-x\over\scriptstyle\sqrt{1-x^2}}=f_3\left(x\right)-f_4\left(x\right)\) donc \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right) = \mathop{\mathrm{rg}}\left(f_3,f_4\right)=2\) car cette dernière famille est libre


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