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Les exercices
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L1/SUP
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Les nombres complexes
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Géométrie plane
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Cercle
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Géométrie dans l'espace
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Fonctions usuelles
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Equations différentielles linéaires
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Les nombres réels
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Suites réelles
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Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles
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Dérivation des fonctions à valeurs réelles
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Développements limités
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Intégration sur un segment
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Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées
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Arithmétique
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Bézout, PGCD, PPCM
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- Exercice 1465
- Exercice 1466
- Exercice 1467
- Exercice 1468
- Une équation diophantienne
- Une seconde équation diophantienne
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- Exercice 1481
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- Divers []
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Polynômes à coefficients réels ou complexes
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- L'anneau des polynômes []
- Dérivation, formule de Taylor []
- Arithmétique des polynômes []
- Division euclidienne []
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Racines d'un polynôme
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- Exercice 896
- Exercice 811
- Exercice 598
- Exercice 458
- Exercice 314
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- Exercice 640
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- Exercice 862
- Exercice 399
- Exercice 164
- Exercice 1003
- Polynômes réciproques
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- Exercice 282
- Exercice 519
- Exercice 694
- Exercice 387
- Exercice 351
- Exercice 247
- Théorème fondamental de l’algèbre
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Factorisations de polynômes
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- Relations entre coefficients et racines []
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Structures algébriques
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- Loi de composition interne []
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Groupes
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- Groupe de Klein
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- Exercice 1518
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- Théorème de Lagrange
- Exercice 1521
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- Morphisme de groupe []
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Anneaux
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- Exercice 1540
- Anneau de Boole
- Exercice 1542
- Exercice 1543
- Exercice 1544
- Algorithme d’exponentiation rapide
- Sous-anneaux et morphismes de \((\mathbb{Z} , + , \times)\)
- Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 2\right]\)
- Exercice 1548
- Exercice 1549
- Exercice 1550
- Exercice 1551
- Exercice 1552
- Exercice 1553
- Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)
- Corps []
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Espaces vectoriels et applications linéaire
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- Espaces vectoriels []
- Sous-espaces vectoriels []
- Opérations sur les sous-espaces vectoriels []
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Sous-espace vectoriel engendré par une partie
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- Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe []
- Applications linéaires []
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Image et noyau d'un endomorphisme
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- Exercice 441
- Exercice 487
- Exercice 868
- Exercice 619
- Exercice 204
- Exercice 397
- Exercice 764
- Exercice 1035
- Exercice 97
- Exercice 705
- Exercice 227
- Exercice 684
- Exercice 994
- Exercice 425
- Exercice 986
- Exercice 633
- Exercice 769
- Exercice 541
- Exercice 86
- Exercice 322
- Exercice 913
- Exercice 966
- Exercice 872
- Exercice 655
- Exercice 827
- Exercice 50
- Exercice 7
- Exercice 699
- Endomorphismes inversibles []
- Transformations vectorielles []
- Formes linéaires []
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Dimension des espaces vectoriels
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- Famille libre, Famille liée, Famille génératrice []
- Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie []
- Bases et dimension d'un espace vectoriel []
- Sous-espace vectoriel de dimension finie []
- Hyperplan []
- Sous-espaces supplémentaires []
- Rang d'une famille de vecteurs []
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Applications linéaires en dimension finie
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- Exercice 572
- Exercice 665
- Exercice 740
- Exercice 365
- Exercice 688
- Exercice 1017
- Exercice 101
- Exercice 82
- Exercice 856
- Exercice 1000
- Exercice 948
- Exercice 928
- Endomorphisme commutant avec tous les autres
- Un grand classique
- Exercice 404
- Exercice 807
- Exercice 469
- Exercice 389
- Exercice 582
- Exercice 170
- Exercice 197
- Exercice 624
- Rang d'une application linéaire []
- Formes linéaires en dimension finie []
- Récurrences linéaires []
- L'espace vectoriel des polynômes []
- Endomorphismes opérant sur les polynômes []
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Calcul matriciel
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- Opérations sur les matrices []
- Trace d'une matrice []
- Rang d'une matrice []
- Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ []
- Inversion de matrice []
- Calcul des puissances d'une matrice []
- Représentation matricielle d'une application linéaire []
- Changement de base []
- Matrices semblables, équivalentes []
- Structure formée de matrices []
- Systèmes linéaires []
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Groupe symétrique et déterminant
[
- Groupe symétrique []
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Déterminants
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- Exercice 5
- Exercice 294
- Exercice 579
- Exercice 886
- Exercice 981
- Exercice 156
- Exercice 716
- Exercice 262
- Un déterminant tridiagonal
- Exercice 879
- Exercice 217
- Exercice 524
- Exercice 1
- Exercice 320
- Exercice 497
- Encore un déterminant tridiagonal
- Exercice 726
- Exercice 180
- Exercice 465
- Exercice 459
- Un déterminant tridiagonal
- Dérangement
- Exercice 662
- Exercice 435
- Déterminant de Cauchy
- Exercice 853
- Exercices théoriques sur les déterminants []
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Les nombres complexes
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L2/SPE
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-
Agrégation
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-
Algèbres bilinéaire et hermitienne
[
- Dimension, bases et applications linéaires
- Matrices et réduction
- Une équation matricielle dans \(M_2(\mathbb C)\)
- Histoire de matrices nilpotentes
- Autour du commutant
- Étude \(A\mapsto A^3\) dans \(M_3(\mathbb R)\)
- Réduction des endomorphismes
- Encore deux démonstrations du Théorème de Cayley-Hamilton
- Étude de \(M_3(\mathbb R)\ni B\mapsto AB\)
- \(A^5+A^3+A=3I_d\) dans \(M_d(\mathbb C)\)
- Polynôme minimal et dimension du noyau
- Étude de \(\varphi\,:\,A\in M_n(\mathbb R)\longmapsto \varphi(A)=-A+\text{tr}(A)I_n.\)
- Espaces vectoriels, dimension, réduction des endomorphismes
- Rayon spectral et décomposition de Dunford
- Matrices nilpotentes
- Matrice, comatrice et rang
- Séries entières, algèbre linéaire
- Matrices semblables, polynômes
- Réduction des endomorphismes
- Réduction des endomorphismes
- Groupes, réduction des endomorphismes
- Inégalité, matrices, déterminant
- Un théorème de Kronecker
- Le commutant dans \(M_2(\mathbb K)\)
- Points isolés des solutions de l’équation \(X^2=I_n\) dans \(M_n(\mathbb R)\)
- Sur l’équation \(\displaystyle\sin(A)=B\)
- Quelques propriétés topologiques de \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) et \(\mathscr U_n(\mathbb C)\)
- Dans \(M_n(\mathbb R)\) : \(AB+A+B=0\quad\implies AB=BA\)
- Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (1)
- Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (2)
- Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace
- Sur l’équation \(A^p=I_n\) dans \(M_n(\mathbb Z)\).
- Calcul de \(\exp(A)\) où \(A=((\exp(2i\pi(k+l)/5)))_{k,l}\in M_5(\mathbb C)\).
- Matrices entières inversibles
- Sur l’équation \(S=X^2\) dans \(M_n(\mathbb C)\) avec \(S\) symétrique et \(X\) antisymétrique.
- Convexité, matrice symétrique, calcul d’intégrale
- Matrices symétriques
- Espaces euclidiens et projection orthogonale
- Une matrice symétrique non diagonalisable
- Produit scalaire, continuité, topologie
- Autour de la trace
- Bases orthormées
- Toute matrice carrée réelle est produit de deux matrices symétriques réelles
- Sur l’équation \(\det(I_n-xA-yB)=\det(I_n-xA)\det(I_n-yB),\quad \forall\,x,y\in\mathbb R\).
-
Polynômes
[
- Exercice 1109
- Sur les polynômes de la forme \(P=QP''\) avec \(\text{deg}(Q)=2\)
- Trois exercices sur les polynômes
- Polynômes harmoniques et homogènes en deux variables
- Polynomes et fractions rationelles, approximation
- Polynômes, nombres premiers
- Polynômes dans \(\mathbb Z[X]\)
- Polynômes trigonométriques : un théorème de Fejèr-Riesz
- Autour du résultant de deux polynômes
- Le théorème de Gauss-Lucas
- Le théorème de Gauss-Lucas : nouvelle approche
- Une inégalité autour des polynômes
- Encore un calcul de \(\zeta(2)\)
- Nombre de racines réelles du \(2005\)-ième itéré de \(P(x)=x^2-1\)
- Racines de \(P(z)\) et de \(2zP'(z)-dP(z)\)
- Un polynôme de degré \(6\) et un peu de géométrie
- Sur les racines multiples du polynôme dérivé
-
Géométrie
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- Optimisation dans un triangle
- Sur la longueur de l’intersection entre une parabole et un disque
- Inégalités dans un triangle (1)
- Inégalités dans un triangle (2)
- Coniques : le théorème de Joachimsthal
- Heptadivision d’un triangle
- Disposition de \(n\) points sur une sphère
- Une suite associée à un polygône
- Sur la longueur de l’ellipse
- Même périmètre et même aire
- Deux inégalités
- Exercice 1329
-
Topologie
[
- Exercice 1329
- Une famille totale dans \(l^2(\mathbb N)\)
- La somme de deux sous espaces fermés est-elle fermée ?
- Deux sous-espaces fermés dont la somme ne l’est pas
- Complémentaire d’un hyperplan dans un espace vectoriel normé
- Normes, normes équivalentes
- Démonstration des inégalités faibles de Kolmogorov via les normes équivalentes, formule de Taylor
- L’ensemble \(\mathscr P\) des nombres premiers est infini : preuve topologique
- Espace métrique et continuité
- Normes sur \(\mathscr C^0([0,1])\)
- Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) et \(M_n(\mathbb C)\) : propriétés de \(\mathscr D_n\) et \(\mathscr D'_n\)
- Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) : l’adhérence de \(\mathscr D_n(\mathbb R)\)
- Autour des sous-groupes de \(\mathbb R\)
- Exercice 1166
- Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) et \(M_n(\mathbb C)\) : propriétés de \(\mathscr D_n\) et \(\mathscr D'_n\)
- Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) : l’adhérence de \(\mathscr D_n(\mathbb R)\)
- Autour des sous-groupes de \(\mathbb R\)
- Le théorème de Riesz dans un espace de Hilbert : c’est facile !
- Connexité
- Un opérateur borné sans adjoint
- \(\exp(A)\in\mathbb C[A],\quad \forall A\in M_n(\mathbb C)\)
- Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : commutant et bicommutant
- Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : autour des matrices nilpotentes
- Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : les classes de conjugaison
- Espace de Banach
- Surjectivité universelle de l’ensemble de Cantor
- Sur les espaces de Baire
- Un espace de Baire \(A\subset\mathbb R\) non dénombrable et de mesure nulle
- Baireries : sur les applications \(f\ :\ \mathbb R^2\to\mathbb R\) séparément continues
- Applications linéaires dans un espace vectoriel normé
- Sur la norme d’une forme linéaire
- Applications linéaires continues et compacité
- Trois preuves du théorème d’approximation de Weierstrass trigonométrique
-
Continuité
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- Exercice 1329
- Les algèbres \(\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) et \(\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\) sont-elles isomorphes ?
- Automorphisme d’algèbre de \(\mathscr C(\mathbb R^d,\mathbb R)\)
- Sous-algèbres de dimension finie de \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\)
- Propriété des valeurs intermédiaires et monotonie impliquent la continuité
- Baireries
- L’équation fonctionnelle de Cauchy \(f(x+y)=f(x)+f(y)\)
- Les fonctions mid-convexes
- L’équation fonctionnelle \(f(\sqrt{x^2+y^2})=f(x)f(y)\) dans \(\mathscr{C}^0(\mathbb R)\).
- Continuité et connexité : le théorème de Borsuk-Ulam
- Continuité et composition
- Autour des valeurs intermédiaires
- Le théorème des valeurs intermédiaires
- Sur les points de discontinuité d’une bijection \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R_+^\star\)
- Sur la continuité de l’application réciproque
- Sur la continuité de l’application réciproque, suite
- Continuité, topologie
- Continuité
- Théorème du point fixe : quelques limites
- Propriétés topologiques de l’ensemble des points de discontinuité d’une application
- Une application discontinue sur \(\mathbb Q\)
- Continuité ordinaire et continuité au sens de Cesàro
- Des petits o
- L’équation fonctionnelle \(f^{2}(x)=\int_0^x\,\left( f^2(t)+f'^2(t)\right)dt+2007\).
- Encore quelques équations fonctionnelles
- Une inéquation fonctionnelle
-
Dérivabilité
[
- Exercice 1329
- Existence d’un opérateur à la dérivée de Dirac sur \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\)
- Deux fonctions \(f,g\) dérivables telles que \(f'g'\) ne soit pas une dérivéee
- Dérivation
- Approche matricielle du théorème des accroissements finis
- Comportement asymptotique du point intermédiaire dans la formule de Taylor-Lagrange
- Trois preuves du théorème de Darboux
- Sur le point d’inflexion
- Rolle sur \(\mathbf{\mathbb R}\)
- Dérivabilité et accroissements finis
- Dérivabilité et accroissements finis
- Toute application convexe et majorée sur \(\mathbb R\) est constante
- Régularité et existence de développement limité en un point
- Parité, dérivabilité et développement limité
- Convexité et Accroisements Finis
- Zéros des dérivées d’une fonctions \(\mathscr C^\infty\) à support compact
- Sur l’inégalité de Kolmogorov \(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\).
- Une série et une fonction
- Un fameux théorème d’Émile Borel
- \(\sum_{k=1}^n\,(-1)^{k+1}C_n^kk^n=(-1)^{n+1}n!\)
-
Intégration
[
- Exercice 1329
- Irrationalité de \(e\) (1)
- Calcul de l’intégrale de Gauss \(\int_0^\infty e^{-t^2}dt\) (1)
- Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^\infty \frac{sin(t)}{t}dt\) (1)
- Encore un calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}dt\)
- Toujours un calcul de l’intégrale de Cauchy\(\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}dt\) (3)
- Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\) (4)
- Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\) (5)
- Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\) (5),
- Étude de la suite \(( u_n={n\over2}-\sum_{k=1}^n{n^2\over(n+k)^2})_n\)
- Autour du théorème des moments de Hausdorff
- Étude de \(I_\alpha = \int_0^{+\infty}{{\sin(t)}\over t^\alpha}dt, \quad J_\alpha = \int_2^{+\infty}{{\sin(t)}\over {t^\alpha+\sin(t)}} dt \quad \& \quad S_\alpha = \sum_{n\geq 1}{{(-1)^n}\over{n^\alpha + (-1)^n}},\ \alpha\in\mathbb R\)
- Une caractérisation de la fonction Gamma : le théorème de Bohr-Mollerup
- Sommes de Riemann et formule de Taylor
- Autour de l’inégalité de Jensen
- Limite en \(0\), \(\pm\infty\) de \(\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p}\)
- Étude de la suite \((\int_0^\infty n\log\left(1+n^{-\alpha}f^\alpha (t)\right)dt)_n\)
- Le lemme de Cantor
- Étude de \(x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{\log(t)}\)
- Optimisation et convexité
- L’inégalité de Hardy \(\int_0^T\left(x^{-1}\int_0^xf(u)du\right)^2dx\leq 4\int_0^Tf^2(x)dx.\)
- Une formule de Ramanujan et le d.s.e. de la fonction tangente
- \(\Gamma'(1)=-\gamma\)
- \(\int_\mathbb R \vert f(t)\vert dt\leq \sqrt{8}\left( \int_\mathbb R \vert t f(t)\vert^2 dt\right)^{\frac{1}{4}}\left( \int_\mathbb R \vert f(t)\vert^2 dt\right)^{\frac{1}{4}}.\)
- Encore une petite inégalité
- Nature d’une intégrale impropre
- Une jolie intégrale....
- Minore !
- Autour des sommes de Riemann
- Autour d’Hölder
- Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^{+\infty}\,{{\sin (t)}\over t}dt\) (8)
-
Suites et séries
[
- Exercice 1329
- Convergence de \(\sum_n a_n^{-3}\), où \(\vert a_n-a_m\vert>1,\ \forall\,m\neq n\in\mathbb N\)
- Convergence d’une série par sommation par paquets
- Divergence de la série \(\sum_{p\in\mathscr P}\frac{1}{p}\)
- Si \((x_j)_j\subset\mathbb R_+\) et \(\sum_j x_j=A\) alors \(\sum_j x_j^2\ \in\,]0,A^2[\)
- Formule de Wallis et applications
- Série non commutativement convergente
- Suites numériques, calculs d’équivalents
- Irrationalité de \(e\) (2)
- Irrationalité de \(e\) (3)
- Irrationalité de \(\pi^2\) et donc de \(\pi\)
- Suites, équivalents
- Divergence de la série harmonique, preuve record ?
- Divergence de la série harmonique (suite)
- Suites et sous-suites
- Divergence de la série \(\sum_{n\geq 1}{{\sin^2(n)}\over n}\)
- Le critère de condensation de Cauchy
- Suites, continuité
- Sur le nombre d’éléments d’une suite récurrente
- Un exercice sur les séries numériques
- Calcul de \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F(2^n)}\)
- Divergence de la série \(\sum_{n\geq 2}\frac{\cos(\log(\log(n)))}{\log(n)}\)
- Calcul d’une somme de série
- À propos du produit de Cauchy
- \(e=\sum 1/k!\), une preuve élémentaire
- Divergence douce de \(\sum_k\,1/k\log(k)\log(\log(k))\) par le TAF
-
Suites et séries de fonctions, séries entières
[
- Exercice 1329
- Étude d’une série de fonctions
- Limite d’une suite via les séries entières
- Séries entières et convergence uniforme
- Convergence uniforme et convergence continue
- Étude des séries de fonctions \(\sum_{n\geq 0}\,t^nf(t)\) et \(\sum_{n\geq 0}(-1)^nt^nf(t)\)
- approximation, convergence uniforme
- Une caractérisation de la fonction sinus
- Approximations uniforme de la valeur absolue sur \([-1,1]\)
- \(f(x)=\sum_{m=0}^\infty e^{-m}\cos(m^2x)\) n’est pas développable en série entière
- Développement en série de Fourier de \(f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\), série entière
- Inégalité de Bernstein via les séries de Fourier
- Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier (1)
- Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier (2)
- Une fonction continue dont la série de Fourier diverge à l’origine
- Séries de Fourier, dérivation
- Séries entières, déterminant, systèmes linéaires
- Étude de \(f(x) = \sum^{ \infty}_{ n=1}\sin (nx) \exp \left(-n^a \right)\)
- Séries entières, comportement au bord
- Séries de Fourier : histoires d’unicité
- SON et SCV
- Fonction \(2\pi\)-périodique continue à coefficients de Fourier positifs
- \(\int_0^1( \int_0^1 f(x,y)dx)^2 dy+\int_0^1( \int_0^1 f(x,y)dy)^2 dx\leq ( \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dxdy)^2+\int_0^1\int_0^1\,f(x,y)^2dxdy\)
- Calcul de \(\int_0^\pi \cos(\cos(x))\rm{ch}(\sin(x))\cos(nx)dx, n\in\mathbb N\), via Fourier
- Preuve du théorème des moments de Hausdorff par les séries de Fourier
- \(\sum_{k=0}^n C_{2n+2}^{2k+1}=2^{2n+1}(2n+1)(2n+2)\) via les séries entières
-
Fonctions holomorphes
[
- Exercice 1329
- Baireries dans \(\mathscr O(\Omega)\)
- Calcul de \(\zeta(2)\) par la méthode des résidus
- Le théorème de Rolle version holomorphe
- Une preuve presque holomorphe du théorème de Cayley-Hamilton
- Une fonction entière prenant des valeurs réelles sur deux droites sécantes
- Une fonction entière non constante mais bornée sur toute droite passant par l’origine.
- Sur \(\mathscr O(\Omega)\), les topologies de la convergence compacte et \(L^1_{loc}\) coïncident
- Une fonction entière universelle
- L’équation \(f^2+g^2=1\) dans \(\mathscr O(\mathbb C)\)
- Comportement au voisinage d’un point singulier essentiel isolé et non isolé
-
Calcul différentiel
[
- Exercice 1329
- Calcul différentiel, extréma, fonctions harmoniques
- Calcul différentiel, espaces vectoriels normés, polynômes
- Extrémas en dimension plus grande que \(2\) : attention aux idées reçues !
- Théorème de d’Alembert-Gauss, topologie, calcul différentiel
- Théorème de d’Alembert-Gauss, calcul différentiel, optimisation
- Inversion locale et globale
- Déterminant et calcul différentiel
- Matrices et calcul différentiel
- Extrémas et convexité
- Étude de \(y'=y(y-1)\)
- Étude de \(y'=y^2\sin^2(y)\)
- Étude de \(xy'=x+y^2\)
- Étude de \(y'=\exp(-xy)\)
- Domaine de définition des solutions maximales de \(X'(t)=X^2(t)\) à valeurs dans \(M_n(\mathbb C)\).
- Résolution de l’équation \(f(x)=1-\int_0^x(t+x)f(x-t)dt.\)
- L’équation fonctionnelle de d’Alembert \(2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)\)
- Equations différentielles []
-
Analyse fonctionnelle
[
- Exercice 1329
- \(L^2([0,1])\) est maigre dans \(L^1([0,1])\)
- Une bijection linéaire continue dont l’application réciproque est discontinue
- Étude d’un opérateur sur \(L^2([0,1])\)
- Un espace vectoriel topologique non localement convexe
- Densité de \(\text{vect}\{ \ x\mapsto\frac{1}{ (x-a_n)},\ n\geq 1\}\) dans \(\mathscr C^0([0,1])\)
- Normes et formes linéaires continues
- L’inclusion \(\mathscr F(L^1(\mathbb R))\subset C_0(\mathbb R)\) est stricte
- Image de \(L^2(\mathbb R)\setminus L^1(\mathbb R)\) par la tranformée de Fourier
- Forme faible du théorème de Müntz
- Sous-espaces de \(\mathscr C([0,1])\) fermés dans \(L^2([0,1]\))
- Opérateur de dérivation
- Aux limites du théorème de Banach-Steinhaus
- \((\Vert 1_E-T\Vert<1,\ T\in\mathscr L(E))\Rightarrow(T\ {\text{inversible}})\ \) ?
- Encore une preuve de \((l^\infty(\mathbb N))'\neq l^1(\mathbb N)\)
- Quelques exemples de suites faiblement convergente dans \(L^2(\mathbb R)\)
- Deux convexes disjoints non séparables par un hyperplan
- Une forme bilinéaire discontinue mais séparément continue
- Pourquoi la topologie produit ?
- Séparabilité de \(L^p(\Omega),\ 1\leq p\leq\infty\)
- Séparabilité de \(l^p(\mathbb N),\ 1\leq p\leq\infty\)
- Encore une application du théorème du graphe fermé
- Une permutation qui conserve les séries convergentes
- Topologie de la convergence simple : points adhérents et suites
-
Combinatoires et probabilités
[
- Exercice 1329
- Combinatoire : les nombres de Bell
- Un peu de dénombrement autour d’une série entière
- Autour du nombre de dérangements
- Distance entre deux racines d’un polynôme
- Distribution de deux points sur un segment (1)
- Probabilité que deux entiers soient premiers entre-eux
- Nombre de matrices symétriques à coefficients dans \(\{0,1\}\) et série entières
- Distribution aléatoire de deux points sur un segment
- Dénombrement et séries entières/génératrices
- Groupes et probabilités
- Dénombrement et algèbre linéaire
- Les dés sont pipés
- Avec un peu d’algèbre linéaire
- Probabilité d’obtenir un multiple de cinq en jetant \(n\) dés
- Combinatoire et matrices
- \(10^{2006}\) divise \(n!\)
- Dénombrement dans les groupes
-
En cours...
[
- Exercice 1329
- Histoire dans un corps
- Le lemme de Riemann-Lebesgue et l’inclusion \(\mathscr L^1([0,1])\subset c_{0}\).
- Trois problèmes d’optimisation autour d’une droite et une parabole
- Convergence faible dans \(\mathscr C^0(X)\)
- Inégalité de Bernstein (2)
- Une caractérisation de la convexité
- Probabilités, géométrie
- Séries de fourier et séries trigonométriques
- Sur la topologie de la convergence simple
- Un bien utile lemme de factorisation
- Exemple d’une série trigonométrique qui n’est pas une série de Fourier
- Nombre de points à coordonnées entières dans un disque, comportement au bord d’une série entière
- Optimisation dans un triangle
- optimisation, combinatoire
- Étude des espaces \({\rm{vect}}\{ f^{(k)},\ k\in\mathbb N\}\) et \({\rm{vect}}\{x\mapsto f(x+a),\ a\in\mathbb R\}\)
- \(\inf\left\lbrace \,\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx,\ f\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\ f(0)=0,\ f(1)=1\,\right\rbrace=e^{-1}.\)
- Études de quelques équations fonctionnelles
- Quelques applications de l’inégalité de Jensen
- Combinatoire : les nombres de Bell
- Probabilités et formule de Taylor
- Une suite dans \(\mathbb C[X_1,X_2,\dots,X_n]\) qui s’annule sur \(\mathbb C\)
- Autour de la série harmonique
- \(n(n^2+1)/2\) est valeur propre de toute matrice magique \(A\in M_n(\mathbb R)\).
- Une base de deux Banach \(X\) et \(Y\) n’en est pas forcément une pour \(X\cap Y\)
- Encore un peu de dénombrement
- La courbe d’équation \(y=x^4+9x^3+\alpha x^2+9x+4\) admet-elle \(4\) points alignés ?
- Un théorème d’Erdös sur les fonctions multiplicatives monotones
- Autour d’une ellipse
- Autour du théorème de Gauss-Lucas
- Différentiabilité de \(M_n(\mathbb R)\ni M\mapsto (\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n))\) et applications
- Une inégalité...
- Autour des ! universelles des fonctions continues
- Accélération de la convergence vers la contante d’Euler
- A la recherche des points isolés de \(\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ P(A)=0\,\},\ P\in\mathbb C[x]\)
- Supplémentaires universels d’un espace de dimension finie
- Partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9}k^{-2/3}\)
- Le saviez vous ?
- Analyse sur une ligne brisée
- La formule de Stirling via la loi de Poisson
- Preuve probabiliste du théorème d’approximation de Bernstein
- Équicontinuité
- L’équation \(\det(A+X)=\det(X),\ X\in M_n(\mathbb R)\).
- Isométries rationnellles
- Une fonction continue nulle part dérivable
- Restes et sommes partielles de deux séries
- Géométrie
- L’inégalité Arithmético-Géométrique version améliorée via Taylor-Lagrange
- Générer des permutation avec des urnes
- Irrationalité de \(\sqrt{2}\)
- \(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\).
- \({\text{dist}}(a, \ker(T))\) où \(T\) est une forme linéaire continue.
- \(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\). (part. 3)
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- Théorème de Lagrange
- Exercice 1521
- Sous-groupes []
- Morphisme de groupe []
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Anneaux
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- Exercice 1540
- Anneau de Boole
- Exercice 1542
- Exercice 1543
- Exercice 1544
- Algorithme d’exponentiation rapide
- Sous-anneaux et morphismes de \((\mathbb{Z} , + , \times)\)
- Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 2\right]\)
- Exercice 1548
- Exercice 1549
- Exercice 1550
- Exercice 1551
- Exercice 1552
- Exercice 1553
- Anneau \(\mathbb{Z}\left[\sqrt 7\right]\)
- Corps []
-
Espaces vectoriels et applications linéaire
[
- Espaces vectoriels []
- Sous-espaces vectoriels []
- Opérations sur les sous-espaces vectoriels []
-
Sous-espace vectoriel engendré par une partie
[
- Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe []
- Applications linéaires []
-
Image et noyau d'un endomorphisme
[
- Exercice 441
- Exercice 487
- Exercice 868
- Exercice 619
- Exercice 204
- Exercice 397
- Exercice 764
- Exercice 1035
- Exercice 97
- Exercice 705
- Exercice 227
- Exercice 684
- Exercice 994
- Exercice 425
- Exercice 986
- Exercice 633
- Exercice 769
- Exercice 541
- Exercice 86
- Exercice 322
- Exercice 913
- Exercice 966
- Exercice 872
- Exercice 655
- Exercice 827
- Exercice 50
- Exercice 7
- Exercice 699
- Endomorphismes inversibles []
- Transformations vectorielles []
- Formes linéaires []
-
Dimension des espaces vectoriels
[
- Famille libre, Famille liée, Famille génératrice []
- Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie []
- Bases et dimension d'un espace vectoriel []
- Sous-espace vectoriel de dimension finie []
- Hyperplan []
- Sous-espaces supplémentaires []
- Rang d'une famille de vecteurs []
-
Applications linéaires en dimension finie
[
- Exercice 572
- Exercice 665
- Exercice 740
- Exercice 365
- Exercice 688
- Exercice 1017
- Exercice 101
- Exercice 82
- Exercice 856
- Exercice 1000
- Exercice 948
- Exercice 928
- Endomorphisme commutant avec tous les autres
- Un grand classique
- Exercice 404
- Exercice 807
- Exercice 469
- Exercice 389
- Exercice 582
- Exercice 170
- Exercice 197
- Exercice 624
- Rang d'une application linéaire []
- Formes linéaires en dimension finie []
- Récurrences linéaires []
- L'espace vectoriel des polynômes []
- Endomorphismes opérant sur les polynômes []
-
Calcul matriciel
[
- Opérations sur les matrices []
- Trace d'une matrice []
- Rang d'une matrice []
- Calcul de déterminants de taille $2$ ou $3$ []
- Inversion de matrice []
- Calcul des puissances d'une matrice []
- Représentation matricielle d'une application linéaire []
- Changement de base []
- Matrices semblables, équivalentes []
- Structure formée de matrices []
- Systèmes linéaires []
-
Groupe symétrique et déterminant
[
- Groupe symétrique []
-
Déterminants
[
- Exercice 5
- Exercice 294
- Exercice 579
- Exercice 886
- Exercice 981
- Exercice 156
- Exercice 716
- Exercice 262
- Un déterminant tridiagonal
- Exercice 879
- Exercice 217
- Exercice 524
- Exercice 1
- Exercice 320
- Exercice 497
- Encore un déterminant tridiagonal
- Exercice 726
- Exercice 180
- Exercice 465
- Exercice 459
- Un déterminant tridiagonal
- Dérangement
- Exercice 662
- Exercice 435
- Déterminant de Cauchy
- Exercice 853
- Exercices théoriques sur les déterminants []
-
Les nombres complexes
[
-
L2/SPE
[
-
Agrégation
[
-
Algèbres bilinéaire et hermitienne
[
- Dimension, bases et applications linéaires
- Matrices et réduction
- Une équation matricielle dans \(M_2(\mathbb C)\)
- Histoire de matrices nilpotentes
- Autour du commutant
- Étude \(A\mapsto A^3\) dans \(M_3(\mathbb R)\)
- Réduction des endomorphismes
- Encore deux démonstrations du Théorème de Cayley-Hamilton
- Étude de \(M_3(\mathbb R)\ni B\mapsto AB\)
- \(A^5+A^3+A=3I_d\) dans \(M_d(\mathbb C)\)
- Polynôme minimal et dimension du noyau
- Étude de \(\varphi\,:\,A\in M_n(\mathbb R)\longmapsto \varphi(A)=-A+\text{tr}(A)I_n.\)
- Espaces vectoriels, dimension, réduction des endomorphismes
- Rayon spectral et décomposition de Dunford
- Matrices nilpotentes
- Matrice, comatrice et rang
- Séries entières, algèbre linéaire
- Matrices semblables, polynômes
- Réduction des endomorphismes
- Réduction des endomorphismes
- Groupes, réduction des endomorphismes
- Inégalité, matrices, déterminant
- Un théorème de Kronecker
- Le commutant dans \(M_2(\mathbb K)\)
- Points isolés des solutions de l’équation \(X^2=I_n\) dans \(M_n(\mathbb R)\)
- Sur l’équation \(\displaystyle\sin(A)=B\)
- Quelques propriétés topologiques de \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) et \(\mathscr U_n(\mathbb C)\)
- Dans \(M_n(\mathbb R)\) : \(AB+A+B=0\quad\implies AB=BA\)
- Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (1)
- Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (2)
- Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace
- Sur l’équation \(A^p=I_n\) dans \(M_n(\mathbb Z)\).
- Calcul de \(\exp(A)\) où \(A=((\exp(2i\pi(k+l)/5)))_{k,l}\in M_5(\mathbb C)\).
- Matrices entières inversibles
- Sur l’équation \(S=X^2\) dans \(M_n(\mathbb C)\) avec \(S\) symétrique et \(X\) antisymétrique.
- Convexité, matrice symétrique, calcul d’intégrale
- Matrices symétriques
- Espaces euclidiens et projection orthogonale
- Une matrice symétrique non diagonalisable
- Produit scalaire, continuité, topologie
- Autour de la trace
- Bases orthormées
- Toute matrice carrée réelle est produit de deux matrices symétriques réelles
- Sur l’équation \(\det(I_n-xA-yB)=\det(I_n-xA)\det(I_n-yB),\quad \forall\,x,y\in\mathbb R\).
-
Polynômes
[
- Exercice 1109
- Sur les polynômes de la forme \(P=QP''\) avec \(\text{deg}(Q)=2\)
- Trois exercices sur les polynômes
- Polynômes harmoniques et homogènes en deux variables
- Polynomes et fractions rationelles, approximation
- Polynômes, nombres premiers
- Polynômes dans \(\mathbb Z[X]\)
- Polynômes trigonométriques : un théorème de Fejèr-Riesz
- Autour du résultant de deux polynômes
- Le théorème de Gauss-Lucas
- Le théorème de Gauss-Lucas : nouvelle approche
- Une inégalité autour des polynômes
- Encore un calcul de \(\zeta(2)\)
- Nombre de racines réelles du \(2005\)-ième itéré de \(P(x)=x^2-1\)
- Racines de \(P(z)\) et de \(2zP'(z)-dP(z)\)
- Un polynôme de degré \(6\) et un peu de géométrie
- Sur les racines multiples du polynôme dérivé
-
Géométrie
[
- Optimisation dans un triangle
- Sur la longueur de l’intersection entre une parabole et un disque
- Inégalités dans un triangle (1)
- Inégalités dans un triangle (2)
- Coniques : le théorème de Joachimsthal
- Heptadivision d’un triangle
- Disposition de \(n\) points sur une sphère
- Une suite associée à un polygône
- Sur la longueur de l’ellipse
- Même périmètre et même aire
- Deux inégalités
- Exercice 1329
-
Topologie
[
- Exercice 1329
- Une famille totale dans \(l^2(\mathbb N)\)
- La somme de deux sous espaces fermés est-elle fermée ?
- Deux sous-espaces fermés dont la somme ne l’est pas
- Complémentaire d’un hyperplan dans un espace vectoriel normé
- Normes, normes équivalentes
- Démonstration des inégalités faibles de Kolmogorov via les normes équivalentes, formule de Taylor
- L’ensemble \(\mathscr P\) des nombres premiers est infini : preuve topologique
- Espace métrique et continuité
- Normes sur \(\mathscr C^0([0,1])\)
- Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) et \(M_n(\mathbb C)\) : propriétés de \(\mathscr D_n\) et \(\mathscr D'_n\)
- Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) : l’adhérence de \(\mathscr D_n(\mathbb R)\)
- Autour des sous-groupes de \(\mathbb R\)
- Exercice 1166
- Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) et \(M_n(\mathbb C)\) : propriétés de \(\mathscr D_n\) et \(\mathscr D'_n\)
- Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) : l’adhérence de \(\mathscr D_n(\mathbb R)\)
- Autour des sous-groupes de \(\mathbb R\)
- Le théorème de Riesz dans un espace de Hilbert : c’est facile !
- Connexité
- Un opérateur borné sans adjoint
- \(\exp(A)\in\mathbb C[A],\quad \forall A\in M_n(\mathbb C)\)
- Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : commutant et bicommutant
- Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : autour des matrices nilpotentes
- Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : les classes de conjugaison
- Espace de Banach
- Surjectivité universelle de l’ensemble de Cantor
- Sur les espaces de Baire
- Un espace de Baire \(A\subset\mathbb R\) non dénombrable et de mesure nulle
- Baireries : sur les applications \(f\ :\ \mathbb R^2\to\mathbb R\) séparément continues
- Applications linéaires dans un espace vectoriel normé
- Sur la norme d’une forme linéaire
- Applications linéaires continues et compacité
- Trois preuves du théorème d’approximation de Weierstrass trigonométrique
-
Continuité
[
- Exercice 1329
- Les algèbres \(\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) et \(\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\) sont-elles isomorphes ?
- Automorphisme d’algèbre de \(\mathscr C(\mathbb R^d,\mathbb R)\)
- Sous-algèbres de dimension finie de \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\)
- Propriété des valeurs intermédiaires et monotonie impliquent la continuité
- Baireries
- L’équation fonctionnelle de Cauchy \(f(x+y)=f(x)+f(y)\)
- Les fonctions mid-convexes
- L’équation fonctionnelle \(f(\sqrt{x^2+y^2})=f(x)f(y)\) dans \(\mathscr{C}^0(\mathbb R)\).
- Continuité et connexité : le théorème de Borsuk-Ulam
- Continuité et composition
- Autour des valeurs intermédiaires
- Le théorème des valeurs intermédiaires
- Sur les points de discontinuité d’une bijection \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R_+^\star\)
- Sur la continuité de l’application réciproque
- Sur la continuité de l’application réciproque, suite
- Continuité, topologie
- Continuité
- Théorème du point fixe : quelques limites
- Propriétés topologiques de l’ensemble des points de discontinuité d’une application
- Une application discontinue sur \(\mathbb Q\)
- Continuité ordinaire et continuité au sens de Cesàro
- Des petits o
- L’équation fonctionnelle \(f^{2}(x)=\int_0^x\,\left( f^2(t)+f'^2(t)\right)dt+2007\).
- Encore quelques équations fonctionnelles
- Une inéquation fonctionnelle
-
Dérivabilité
[
- Exercice 1329
- Existence d’un opérateur à la dérivée de Dirac sur \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\)
- Deux fonctions \(f,g\) dérivables telles que \(f'g'\) ne soit pas une dérivéee
- Dérivation
- Approche matricielle du théorème des accroissements finis
- Comportement asymptotique du point intermédiaire dans la formule de Taylor-Lagrange
- Trois preuves du théorème de Darboux
- Sur le point d’inflexion
- Rolle sur \(\mathbf{\mathbb R}\)
- Dérivabilité et accroissements finis
- Dérivabilité et accroissements finis
- Toute application convexe et majorée sur \(\mathbb R\) est constante
- Régularité et existence de développement limité en un point
- Parité, dérivabilité et développement limité
- Convexité et Accroisements Finis
- Zéros des dérivées d’une fonctions \(\mathscr C^\infty\) à support compact
- Sur l’inégalité de Kolmogorov \(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\).
- Une série et une fonction
- Un fameux théorème d’Émile Borel
- \(\sum_{k=1}^n\,(-1)^{k+1}C_n^kk^n=(-1)^{n+1}n!\)
-
Intégration
[
- Exercice 1329
- Irrationalité de \(e\) (1)
- Calcul de l’intégrale de Gauss \(\int_0^\infty e^{-t^2}dt\) (1)
- Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^\infty \frac{sin(t)}{t}dt\) (1)
- Encore un calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}dt\)
- Toujours un calcul de l’intégrale de Cauchy\(\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}dt\) (3)
- Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\) (4)
- Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\) (5)
- Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\) (5),
- Étude de la suite \(( u_n={n\over2}-\sum_{k=1}^n{n^2\over(n+k)^2})_n\)
- Autour du théorème des moments de Hausdorff
- Étude de \(I_\alpha = \int_0^{+\infty}{{\sin(t)}\over t^\alpha}dt, \quad J_\alpha = \int_2^{+\infty}{{\sin(t)}\over {t^\alpha+\sin(t)}} dt \quad \& \quad S_\alpha = \sum_{n\geq 1}{{(-1)^n}\over{n^\alpha + (-1)^n}},\ \alpha\in\mathbb R\)
- Une caractérisation de la fonction Gamma : le théorème de Bohr-Mollerup
- Sommes de Riemann et formule de Taylor
- Autour de l’inégalité de Jensen
- Limite en \(0\), \(\pm\infty\) de \(\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p}\)
- Étude de la suite \((\int_0^\infty n\log\left(1+n^{-\alpha}f^\alpha (t)\right)dt)_n\)
- Le lemme de Cantor
- Étude de \(x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{\log(t)}\)
- Optimisation et convexité
- L’inégalité de Hardy \(\int_0^T\left(x^{-1}\int_0^xf(u)du\right)^2dx\leq 4\int_0^Tf^2(x)dx.\)
- Une formule de Ramanujan et le d.s.e. de la fonction tangente
- \(\Gamma'(1)=-\gamma\)
- \(\int_\mathbb R \vert f(t)\vert dt\leq \sqrt{8}\left( \int_\mathbb R \vert t f(t)\vert^2 dt\right)^{\frac{1}{4}}\left( \int_\mathbb R \vert f(t)\vert^2 dt\right)^{\frac{1}{4}}.\)
- Encore une petite inégalité
- Nature d’une intégrale impropre
- Une jolie intégrale....
- Minore !
- Autour des sommes de Riemann
- Autour d’Hölder
- Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^{+\infty}\,{{\sin (t)}\over t}dt\) (8)
-
Suites et séries
[
- Exercice 1329
- Convergence de \(\sum_n a_n^{-3}\), où \(\vert a_n-a_m\vert>1,\ \forall\,m\neq n\in\mathbb N\)
- Convergence d’une série par sommation par paquets
- Divergence de la série \(\sum_{p\in\mathscr P}\frac{1}{p}\)
- Si \((x_j)_j\subset\mathbb R_+\) et \(\sum_j x_j=A\) alors \(\sum_j x_j^2\ \in\,]0,A^2[\)
- Formule de Wallis et applications
- Série non commutativement convergente
- Suites numériques, calculs d’équivalents
- Irrationalité de \(e\) (2)
- Irrationalité de \(e\) (3)
- Irrationalité de \(\pi^2\) et donc de \(\pi\)
- Suites, équivalents
- Divergence de la série harmonique, preuve record ?
- Divergence de la série harmonique (suite)
- Suites et sous-suites
- Divergence de la série \(\sum_{n\geq 1}{{\sin^2(n)}\over n}\)
- Le critère de condensation de Cauchy
- Suites, continuité
- Sur le nombre d’éléments d’une suite récurrente
- Un exercice sur les séries numériques
- Calcul de \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F(2^n)}\)
- Divergence de la série \(\sum_{n\geq 2}\frac{\cos(\log(\log(n)))}{\log(n)}\)
- Calcul d’une somme de série
- À propos du produit de Cauchy
- \(e=\sum 1/k!\), une preuve élémentaire
- Divergence douce de \(\sum_k\,1/k\log(k)\log(\log(k))\) par le TAF
-
Suites et séries de fonctions, séries entières
[
- Exercice 1329
- Étude d’une série de fonctions
- Limite d’une suite via les séries entières
- Séries entières et convergence uniforme
- Convergence uniforme et convergence continue
- Étude des séries de fonctions \(\sum_{n\geq 0}\,t^nf(t)\) et \(\sum_{n\geq 0}(-1)^nt^nf(t)\)
- approximation, convergence uniforme
- Une caractérisation de la fonction sinus
- Approximations uniforme de la valeur absolue sur \([-1,1]\)
- \(f(x)=\sum_{m=0}^\infty e^{-m}\cos(m^2x)\) n’est pas développable en série entière
- Développement en série de Fourier de \(f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\), série entière
- Inégalité de Bernstein via les séries de Fourier
- Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier (1)
- Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier (2)
- Une fonction continue dont la série de Fourier diverge à l’origine
- Séries de Fourier, dérivation
- Séries entières, déterminant, systèmes linéaires
- Étude de \(f(x) = \sum^{ \infty}_{ n=1}\sin (nx) \exp \left(-n^a \right)\)
- Séries entières, comportement au bord
- Séries de Fourier : histoires d’unicité
- SON et SCV
- Fonction \(2\pi\)-périodique continue à coefficients de Fourier positifs
- \(\int_0^1( \int_0^1 f(x,y)dx)^2 dy+\int_0^1( \int_0^1 f(x,y)dy)^2 dx\leq ( \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dxdy)^2+\int_0^1\int_0^1\,f(x,y)^2dxdy\)
- Calcul de \(\int_0^\pi \cos(\cos(x))\rm{ch}(\sin(x))\cos(nx)dx, n\in\mathbb N\), via Fourier
- Preuve du théorème des moments de Hausdorff par les séries de Fourier
- \(\sum_{k=0}^n C_{2n+2}^{2k+1}=2^{2n+1}(2n+1)(2n+2)\) via les séries entières
-
Fonctions holomorphes
[
- Exercice 1329
- Baireries dans \(\mathscr O(\Omega)\)
- Calcul de \(\zeta(2)\) par la méthode des résidus
- Le théorème de Rolle version holomorphe
- Une preuve presque holomorphe du théorème de Cayley-Hamilton
- Une fonction entière prenant des valeurs réelles sur deux droites sécantes
- Une fonction entière non constante mais bornée sur toute droite passant par l’origine.
- Sur \(\mathscr O(\Omega)\), les topologies de la convergence compacte et \(L^1_{loc}\) coïncident
- Une fonction entière universelle
- L’équation \(f^2+g^2=1\) dans \(\mathscr O(\mathbb C)\)
- Comportement au voisinage d’un point singulier essentiel isolé et non isolé
-
Calcul différentiel
[
- Exercice 1329
- Calcul différentiel, extréma, fonctions harmoniques
- Calcul différentiel, espaces vectoriels normés, polynômes
- Extrémas en dimension plus grande que \(2\) : attention aux idées reçues !
- Théorème de d’Alembert-Gauss, topologie, calcul différentiel
- Théorème de d’Alembert-Gauss, calcul différentiel, optimisation
- Inversion locale et globale
- Déterminant et calcul différentiel
- Matrices et calcul différentiel
- Extrémas et convexité
- Étude de \(y'=y(y-1)\)
- Étude de \(y'=y^2\sin^2(y)\)
- Étude de \(xy'=x+y^2\)
- Étude de \(y'=\exp(-xy)\)
- Domaine de définition des solutions maximales de \(X'(t)=X^2(t)\) à valeurs dans \(M_n(\mathbb C)\).
- Résolution de l’équation \(f(x)=1-\int_0^x(t+x)f(x-t)dt.\)
- L’équation fonctionnelle de d’Alembert \(2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)\)
- Equations différentielles []
-
Analyse fonctionnelle
[
- Exercice 1329
- \(L^2([0,1])\) est maigre dans \(L^1([0,1])\)
- Une bijection linéaire continue dont l’application réciproque est discontinue
- Étude d’un opérateur sur \(L^2([0,1])\)
- Un espace vectoriel topologique non localement convexe
- Densité de \(\text{vect}\{ \ x\mapsto\frac{1}{ (x-a_n)},\ n\geq 1\}\) dans \(\mathscr C^0([0,1])\)
- Normes et formes linéaires continues
- L’inclusion \(\mathscr F(L^1(\mathbb R))\subset C_0(\mathbb R)\) est stricte
- Image de \(L^2(\mathbb R)\setminus L^1(\mathbb R)\) par la tranformée de Fourier
- Forme faible du théorème de Müntz
- Sous-espaces de \(\mathscr C([0,1])\) fermés dans \(L^2([0,1]\))
- Opérateur de dérivation
- Aux limites du théorème de Banach-Steinhaus
- \((\Vert 1_E-T\Vert<1,\ T\in\mathscr L(E))\Rightarrow(T\ {\text{inversible}})\ \) ?
- Encore une preuve de \((l^\infty(\mathbb N))'\neq l^1(\mathbb N)\)
- Quelques exemples de suites faiblement convergente dans \(L^2(\mathbb R)\)
- Deux convexes disjoints non séparables par un hyperplan
- Une forme bilinéaire discontinue mais séparément continue
- Pourquoi la topologie produit ?
- Séparabilité de \(L^p(\Omega),\ 1\leq p\leq\infty\)
- Séparabilité de \(l^p(\mathbb N),\ 1\leq p\leq\infty\)
- Encore une application du théorème du graphe fermé
- Une permutation qui conserve les séries convergentes
- Topologie de la convergence simple : points adhérents et suites
-
Combinatoires et probabilités
[
- Exercice 1329
- Combinatoire : les nombres de Bell
- Un peu de dénombrement autour d’une série entière
- Autour du nombre de dérangements
- Distance entre deux racines d’un polynôme
- Distribution de deux points sur un segment (1)
- Probabilité que deux entiers soient premiers entre-eux
- Nombre de matrices symétriques à coefficients dans \(\{0,1\}\) et série entières
- Distribution aléatoire de deux points sur un segment
- Dénombrement et séries entières/génératrices
- Groupes et probabilités
- Dénombrement et algèbre linéaire
- Les dés sont pipés
- Avec un peu d’algèbre linéaire
- Probabilité d’obtenir un multiple de cinq en jetant \(n\) dés
- Combinatoire et matrices
- \(10^{2006}\) divise \(n!\)
- Dénombrement dans les groupes
-
En cours...
[
- Exercice 1329
- Histoire dans un corps
- Le lemme de Riemann-Lebesgue et l’inclusion \(\mathscr L^1([0,1])\subset c_{0}\).
- Trois problèmes d’optimisation autour d’une droite et une parabole
- Convergence faible dans \(\mathscr C^0(X)\)
- Inégalité de Bernstein (2)
- Une caractérisation de la convexité
- Probabilités, géométrie
- Séries de fourier et séries trigonométriques
- Sur la topologie de la convergence simple
- Un bien utile lemme de factorisation
- Exemple d’une série trigonométrique qui n’est pas une série de Fourier
- Nombre de points à coordonnées entières dans un disque, comportement au bord d’une série entière
- Optimisation dans un triangle
- optimisation, combinatoire
- Étude des espaces \({\rm{vect}}\{ f^{(k)},\ k\in\mathbb N\}\) et \({\rm{vect}}\{x\mapsto f(x+a),\ a\in\mathbb R\}\)
- \(\inf\left\lbrace \,\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx,\ f\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\ f(0)=0,\ f(1)=1\,\right\rbrace=e^{-1}.\)
- Études de quelques équations fonctionnelles
- Quelques applications de l’inégalité de Jensen
- Combinatoire : les nombres de Bell
- Probabilités et formule de Taylor
- Une suite dans \(\mathbb C[X_1,X_2,\dots,X_n]\) qui s’annule sur \(\mathbb C\)
- Autour de la série harmonique
- \(n(n^2+1)/2\) est valeur propre de toute matrice magique \(A\in M_n(\mathbb R)\).
- Une base de deux Banach \(X\) et \(Y\) n’en est pas forcément une pour \(X\cap Y\)
- Encore un peu de dénombrement
- La courbe d’équation \(y=x^4+9x^3+\alpha x^2+9x+4\) admet-elle \(4\) points alignés ?
- Un théorème d’Erdös sur les fonctions multiplicatives monotones
- Autour d’une ellipse
- Autour du théorème de Gauss-Lucas
- Différentiabilité de \(M_n(\mathbb R)\ni M\mapsto (\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n))\) et applications
- Une inégalité...
- Autour des ! universelles des fonctions continues
- Accélération de la convergence vers la contante d’Euler
- A la recherche des points isolés de \(\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ P(A)=0\,\},\ P\in\mathbb C[x]\)
- Supplémentaires universels d’un espace de dimension finie
- Partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9}k^{-2/3}\)
- Le saviez vous ?
- Analyse sur une ligne brisée
- La formule de Stirling via la loi de Poisson
- Preuve probabiliste du théorème d’approximation de Bernstein
- Équicontinuité
- L’équation \(\det(A+X)=\det(X),\ X\in M_n(\mathbb R)\).
- Isométries rationnellles
- Une fonction continue nulle part dérivable
- Restes et sommes partielles de deux séries
- Géométrie
- L’inégalité Arithmético-Géométrique version améliorée via Taylor-Lagrange
- Générer des permutation avec des urnes
- Irrationalité de \(\sqrt{2}\)
- \(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\).
- \({\text{dist}}(a, \ker(T))\) où \(T\) est une forme linéaire continue.
- \(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\). (part. 3)
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Algèbres bilinéaire et hermitienne
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