De la même façon que dans le chapitre consacré à la géométrie plane [geom_plan], ce chapitre a pour vocations de vous familiariser avec le calcul algébrique et de vous donner des représentations pour les objets étudiés dans les chapitres [chapitre_ev] et [chap_dim_ev] d’algèbre linéaire.
Là encore, on pourra passer dans une première lecture les démonstrations qui ne sont pas marquées par un \(\heartsuit\) et se focaliser sur les autres parties.
Nous continuons ce chapitre en introduisant les différentes fonctions usuelles en classe préparatoire. Aux fonctions logarithme, exponentielle, puissances et trigonométriques connues depuis le lycée s’ajouteront les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques. Nous aborderons aussi une nouvelle famille de fonctions, les fonctions hyperboliques.
la première est d’apprendre à calculer. On verra comment certains problèmes de géométrie se ramènent à effectuer des calculs qui peuvent s’avérer difficiles si on ne procède pas avec un minimum de méthode.
la seconde de donner des représentations concrètes pour le cours d’algèbre linéaire qui nous occupera en seconde période. On verra que l’ensemble des vecteurs du plan est muni d’une structure algébrique particulière appelée espace vectoriel. La bonne compréhension des notions et propriétés des chapitres [chapitre_ev] et [chap_dim_ev] passe par une bonne représentation de ces notions dans le cas particulier du plan (et de l’espace).
Il est conseillé dans une première lecture de ne s’attacher qu’aux démonstrations marquées du signe \(\heartsuit\).
Comme indiqué dans le programme, on suppose connues les notions suivantes :
calcul vectoriel
distance et norme euclidienne
orthogonalité
orientation
angles et angles orientés
Après quelques rappels sur les repères cartésiens et les coordonnées polaires, on introduit deux outils fondamentaux en géométrie (plane) : le produit scalaire et le déterminant. Le premier permet de tester l’orthogonalité de deux vecteurs et le second leur colinéarité. On mettra en évidence leurs propriétés algébriques (bilinéarité, (anti)symétrie) et leurs propriétés géométriques (projection, calcul d’aire,...).
Bombelli, en \(1572\), applique la formule à l’équation \(x^3=9x+2\) et il obtient : \[x=\sqrt[3]{1+\sqrt{-26}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{-26}} .\] Il relève par ailleurs que \(x=4\) et \(x=-2\pm\sqrt{3}\) sont les \(3\) solutions de l’équation. Il se retrouve donc face au problème suivant : alors que les solutions de l’équation sont toutes réelles, il faut écrire des racines de nombres négatifs pour les calculer. Bombelli ne se démonte pas et il invente alors des règles de calcul permettant de manipuler des quantités de la forme \(a+\sqrt{-b}\) avec \(b>0\) qui n’ont pas de sens. Il écrit par exemple \(\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}=-1\). Ces nouveaux nombres ne sont pas compris tout de suite et leur manipulation conduit à des absurdités. Au \(17^{\textrm{ e}}\) siècle, René Descartes propose, tant leur existence est contestable, de les appeler nombres imaginaires2. Il faut attendre la fin du \(18^{\textrm{ e}}\) siècle et les travaux de Caspar Wessel pour que la construction des nombres complexes soit bien formalisée et pour comprendre leur interprétation géométrique. Ses travaux passent malheureusement complètement inaperçus. Quelques années plus tard, Carl Friedrich Gauss redécouvre et popularise les travaux de Wessel. Il démontre en particulier le théorème fondamental de l’algèbre (voir théorème [theoreme_fondamental_de_l_algebre] page [theoreme_fondamental_de_l_algebre]) qui dit qu’un polynôme à coefficients complexes de degré \(n\) admet \(n\) racines comptées avec leur multiplicité.
Ce chapitre reprend et approfondit les notions apprises au lycée quant aux nombres complexes. On verra en particulier comment on peut les utiliser pour trouver les racines de certains polynômes à coefficients réels ou complexes, comment ils servent à résoudre des problèmes de géométrie plane ainsi que des problèmes d’analyse réelle comme celui de la primitivation de produits de fonctions trigonométriques ou la résolution d’équations trigonométriques. Ce chapitre servira aussi d’introduction à la notion de structure algébrique et plus particulièrement à celle de groupe et celle de corps. Les groupes sont des objets fondamentaux et vous verrez qu’ils sont omniprésents dans le cours de mathématiques durant vos deux années en classe préparatoire.
Les fonctions trigonométriques seront utilisées en permanence pendant ces deux années et ce dès ce premier chapitre. Il est indispensable d’avoir une connaissance parfaite du paragraphe [AnnexeB_Trigonometrie] page [AnnexeB_Trigonometrie] de l’annexe [AnnexeB].
Vous aurez aussi souvent à manipuler des sommes ou des produits (symbolisés respectivement par les symboles \(\sum\) et \(\Pi\)). Il sera utile pour vous familiariser avec ces calculs de lire le paragraphe [AnnexeB_calcul_sommes] page [AnnexeB_calcul_sommes], toujours dans l’annexe [AnnexeB]. Vous y trouverez les définitions de ces symboles ainsi que des méthodes et des formules classiques : télescopage, formule du binôme, sommes géométriques, arithmétiques, etc ... Ces notions seront re-précisées au chapitre [chap_entiers].
