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Séries de Fourier et applications.

Fourier

Il est nécessaire pour cette partie d’avoir lu les parties [epeeh] et [lp]. On verra tout d’abord quelques éléments sur les séries trigonométriques ([jos1]). On définira alors la série de Fourier d’une fonction périodique ([jos2]). On étudiera alors la transformée de Fourier ([jos3]), et ses nombreuses applications ([jos4]).

Séries trigonométriques

(\(T\)-périodique).
Une fonction \(f\) est dite \(T\)-périodique si pour tout \(x\) \(f(x+T)=f(x)\).

Pour \(p\) fini on note \({\mathfrak L}^p\) l’espace \(L^P_\mathbb{C}([-\pi,\pi])\) 1 pour la mesure de Lebesgue, mais avec une norme divisée par \(2\pi\), c’est-à-dire que \({\parallel} f {\parallel}=(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^p.dx)^{\frac1p}\). On note \({\mathfrak L}^\infty\) l’espace \(L^\infty_\mathbb{C}([-\pi,\pi])\) pour la mesure de Lebesgue.

On appelle polynôme trigonométrique une application de la forme \(t\mapsto a_0+\sum_{i=1}^N a_i.\cos(i.t) + b_i.\sin(i.t)\), pour \(N \in \mathbb{N}\), \(a_i \in \mathbb{C}\), \(b_i \in \mathbb{C}\).

Le produit scalaire hermitien usuel sur \({\mathfrak L}^2\) est l’application \((f,g) \mapsto \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \overline{f(t)}.g(t).dt\). Il s’agit bien d’un produit scalaire hermitien.

On note \(u_n\) l’application \(t \mapsto e^{int}\), pour \(n \in \mathbb{Z}\). Nous verrons plus loin qu’il s’agit d’une base hilbertienne de \({\mathfrak L}^2\).

\(\bullet\)On identifiera par la suite (sans préavis !) une fonction définie sur \([-\pi,\pi]\) à une fonction périodique de période \(2\pi\). À part dans les cas où la continuité est importante, on se préoccupera peu du problème de définition en \(\pi\), puisque l’on travaillera généralement sur des propriétés vraies presque partout pour la mesure de Lebesgue.

\(\bullet\)Pour \(p\) fini, il faut changer de norme (division par \(2\pi\) pour la mesure de Lebesgue) mais ce n’est pas le cas pour \(p\) infini. De plus il existe d’autres conventions qui changent la mesure à utiliser. Par exemple, si l’on raisonne sur \([0,1]\) au lieu de \([-\pi,\pi]\), la norme ne change pas et les fonctions de base sont alors les \(t\mapsto e^{i2\pi nt}\).

\(\bullet\)On peut réécrire un polynôme trigonométrique sous la forme \(t \mapsto \sum_{i=-N}^N c_n.e^{int}\), avec \(N\in\N\) et \(c_i\in \C\) (et réciproquement, une telle fonction est toujours un polynôme trigonométrique).

\(\bullet\)Un polynôme trigonométrique est \(2\pi\)-périodique.

La famille \((u_n)_{n\in\mathbb{Z}}\) est une base hilbertienne de \({\mathfrak L}^2\).

\(\bullet\)Il s’agit d’une famille orthonormale à l’évidence.

\(\bullet\)On sait qu’une famille orthonormale est une base hilbertienne si elle engendre un espace dense (cf théorème [l1121]).

\(\bullet\)Il suffit donc pour conclure d’appliquer la densité des fonctions \(C^\infty\) dans \(L^p\) (th. [t807]) et de montrer que l’ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans l’ensemble des fonctions continues de \([-\pi,\pi]\) dans \(\mathbb{C}\) (on utilise la densité de \(C^0([-\pi,\pi],\mathbb{C})\) dans \({\cal L}^2\)). Pour cela, on procède comme suit:

– on considère \(f\) une fonction continue de \([-\pi,\pi]\) dans \(\mathbb{C}\)

– on définit \(P_n(t)=\frac{((1+\cos(t))/2)^n}{\int_{-\pi}^{\pi} ((1+\cos(t))/2)^n.dt}\)

On constate (par linéarisation du numérateur) que \(P_n\) est un polynôme trigonométrique positif, d’intégrale \(1\), convergeant uniformément vers \(0\) sur \([-\pi,-\delta ]\cup[\delta ,+\pi]\) pour tout \(\delta \in ]0,\pi[\). Intuitivement, \(P_n\) tend vers une fonction comportant une pointe en \(0\) et nulle partout ailleurs.

– on définit \(f_n(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(t)P_n(x-t).dx\). En remarquant que le translaté d’un polynôme trigonométrique est un polynôme trigonométrique, on montre que \(f_n\) est un polynôme trigonométrique.

– on montre alors que la norme infinie de \(f_n-f\) tend vers \(0\), et donc la norme \(2\) aussi puisque \([-\pi,\pi]\) est de mesure finie.

Séries de Fourier d’une fonction périodique

Pour étudier une fonction périodique, on se ramène au cas d’une période \(2\pi\), et on la considère définie sur \([-\pi,\pi]\).

(coefficients de Fourier de \(f\)).
Soit \(f\) dans \({\mathfrak L}^1\). On définit les coefficients de Fourier de \(f\) pour \(n\in \mathbb{Z}\) par \[\hat f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-int}f(t).dt\]

On appelle noyau de Dirichlet d’ordre \(n\) et on note \(D_n\) l’application \(x \mapsto \sum_{i=-n}^n u_i(x)\).

On appelle noyau de Féjer d’ordre \(n\) et on note \(K_n\) l’application \[x \mapsto \frac{\sum_{i=0}^{n-1} D_i}n\]

On note \(s_n(f)\) et on appelle somme de Fourier d’ordre \(n\) la somme \(\sum_{i=-n}^n \hat f(i) u_i\).

On note \(\sigma_n(f)\) et on appelle somme de Féjer d’ordre \(n\) la somme \((\sum_{i=0}^{n-1} s_i)/n\).

On appelle série de Fourier associée à \(f\) la série \[\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \hat f(n) e^{int}\]

Intuition \(\frac1{2\pi} \int_{-\pi}^\pi u_n = 1\) si \(n=0\) et \(0\) sinon, ce qui implique que pour tout \(n\geq 0\) on a \(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi D_n=1\) et pour tout \(n\geq 1\) on a \(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi K_n=1\).

Intuition On a \(s_n(f)=\frac1{2\pi} D_n * f\) et \(\sigma_n(f)=\frac1{2\pi} K_n *f\) (où \(\) est le produit de convolution sur \([-\pi, pi]\), par définition \((g*f)(x)=\int_{-\pi}^\pi g(t)f(x-t)dt\) ; voir le chapitre [produitdeconvolution]) ce qui justifie le terme de noyau.

Bien noter le signe moins dans l’exponentielle de la formule de définition des coefficients de Fourier. On remarque que si \(f \in {\mathfrak L}^2\), alors \(f \in {\mathfrak L}^1\), et \(\hat f(n)=(u_n , f)\).
On a isomorphisme isométrique entre \({\mathfrak L}^2\) et \(l^2(\mathbb{Z})\), donné par \(f \mapsto \hat f\).
C’est simplement une reformulation du théorème [rf].
Toute fonction \(f\) dans \({\mathfrak L}^2\) est somme de sa série de Fourier pour \({\mathfrak L}^2\) (c’est-à-dire que la série de Fourier de \(f\) tend vers \(f\) pour la norme \(2\) et ce pour toute \(f\) dans \({\mathfrak L}^2\)).
Le théorème [basehilbfourier] nous garantit que la série de Fourier est bien la projection sur une base hilbertienne. Le résultat est alors immédiat par définition des bases hilbertiennes (cf définition [defbasehilb]).
Il n’y a pas convergence simple de la série de Fourier vers \(f\), même si \(f\) est continue!

Un problème majeur va être de montrer des résultats similaires dans \({\cal L}^1\).

\[D_n(x)=\frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)},\ \ \ K_n(x)=\frac1n \left(\frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}\right)^2\]
Si \(x\) n’est pas multiple de \(2\pi\), alors \[\begin{aligned} D_n(x)&=&u_{-n}(x) \sum_{k=0}^{2n} u_k(x)\\ &=&u_{-n}(x) \frac{(e^{ix})^{2n+1}-1}{e^{ix}-1}\\ &=&u_{-n}(x) \frac{e^{ix(n+1/2)}}{e^{ix/2}} \frac{e^{ix(n+1/2)}-e^{-ix(n+1/2)}}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}\\ &=&\frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}\end{aligned}\] D’où le résultat sur \(D_n\) (si \(x\) est multiple de \(2\pi\), \(D_n(x)=2n+1\), qui est l’unique prolongement par continuité de \(\frac{\sin(n+\frac12x)}{\sin(x/2)}\)). Toujours pour \(x\) non multiple de \(2\pi\), \[\begin{aligned} K_n(x)&=&\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\sin((k+1/2)x)}{\sin(x/2)}\\ &=&\frac1{n\sin(x/2)} Im\left (\sum_{k=0}^{n-1} e^{i(k+1/2)x}\right)\\ &=&\frac1{n\sin(x/2)} Im\left(e^{ix/2} \frac{e^{inx}-1}{e^{ix}-1}\right)\newline &=&\frac{\sin(nx/2)^2}{n\sin(x/2)^2}\end{aligned}\] D’où le résultat.

Deux résultats distincts, prouvés de manières similaires :

(Théorème de Fejer).

\(\bullet\)Soit \(f\) périodique continue de période \(2\pi\). Alors pour tout \(n\) \({\parallel}\sigma_n(f) {\parallel}_\infty \leq {\parallel}f {\parallel}_\infty\) et \({\parallel}\sigma_n(f)-f {\parallel}_\infty \to 0\) pour \(n\to \infty\).

\(\bullet\)Soit \(f\) \(\in\) \({\mathfrak L}^p\), avec \(p\in[1,\infty[\)2. Alors pour tout \(n\) \({\parallel}\sigma_n(f) {\parallel}_p \leq {\parallel}f {\parallel}_p\) et \({\parallel}\sigma_n(f) -f {\parallel}_p \to 0\) pour \(n\to \infty\).

Cette preuve est détaillée dans le livre [[]p81]ZQ. Elle utilise à la fois l’inégalité de Hölder et le théorème de Fubini, et le dernier résultat donné sur le noyau de Féjer.

Un autre résultat, de convergence ponctuelle ce coup-ci:

(Théorème de Dirichlet).

Si \(f\) est \(L^1\) et si \(f\) admet une pseudo-dérivée à droite et à gauche en \(x\), alors \[\sigma_n(f)(x) \to \frac12 (lim_{t\to x,t<x} f(t) + lim_{t\to x,t>x} f(t))\]

Il ne s’agit pas nécessairement de dérivées à gauche ou à droite, on peut se contenter d’avoir \(f\) dans \(L^1\), et admettant en \(x\) une limite à gauche et à droite \(f_{-}(x)\) et \(f_{+}(x)\); alors les « pseudo-dérivées » à gauche et à droite sont \[f'_g(x)=lim_{t\to x,t<x} \frac{f(t)-f_{-}(x)}{t-x}\] \[f'_d(x)=lim_{t\to x,t>x} \frac{f(t)-f_{+}(x)}{t-x}\]
On renvoie à [POM] pour une preuve très claire.

Transformation de Fourier

(transformée de Fourier ).
On se donne \(f\) dans \(L^1_\mathbb{C}(\mathbb{R})\), et on note pour \(x\) dans \(\mathbb{R}\) \[\hat f(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) e^{-ixt}.dt\] \(\hat f\) est appelée transformée de Fourier de \(f\) (plus précisément il s’agit de la transformée de Fourier \(L^1\) de \(f\)). On note \({\cal C}\) l’ensemble des \(x \in \mathbb{C}\) tels que \(|x|=1\).

Intuition Si \(f\) est dans \(L^1\), alors \(\hat f\) est continue et tend vers \(0\) en \(\pm \infty\).

(Quelques propriétés de la transformée de Fourier).

Soit \(f\in L^1(\mathbb{R})\).

\(\bullet\)Avec \(g:x\mapsto f(x)e^{i{\lambda}x}\), pour \({\lambda}\in \mathbb{R}\), \(\hat g(t)=\hat f(t-{\lambda})\).

\(\bullet\)Avec \(g:x\mapsto f(x-{\lambda})\), pour \({\lambda}\in \mathbb{R}\), \(\hat g(t)=\hat f(t)e^{-i{\lambda}t}\).

\(\bullet\)Si \(g\) est \(L^1\) et si \(h=f*g\), alors \(\hat h(t)=\hat f(t) \hat g(t)\).

Les deux premiers sont clairs. Le troisième découle immédiatement du théorème de Fubini [fubini].

Les deux théorèmes suivants, fondamentaux, ne seront pas prouvés ici. Ils sont ardus, et prouvés rigoureusement dans [RUD].

(Théorème d’inversion).

Si \(f\) et \(\hat f\) appartiennent tous deux à \(L^1\), alors \[g:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(t)e^{ixt}dt\] est continue, tend vers \(0\) en \(+\infty\) ou \(-\infty\) et est égale à \(f\) presque partout.

(Théorème de Plancherel).

La transformation de Fourier s’étend en une transformation de Fourier \(L^2\), définie comme l’unique application \(f\mapsto \hat f\) de \(L^2\) dans \(L^2\) telle que:

\(\bullet\)elle coïncide avec la transformée de Fourier \(L^1\) sur \(L^1\cap L^2\)

\(\bullet\)c’est une isométrie de \(L^2\) dans \(L^2\)

Elle vérifie en outre certaines propriétés intéressantes:

\(\bullet\)c’est un isomorphisme d’espaces de Hilbert entre \(L^2\) et \(L^2\)

\(\bullet\)elle vérifie le théorème d’inversion \(L^2\) : \[lim_{M\to \infty} {\parallel}f_M-\hat f {\parallel}_2=0\] \[\mbox{avec } f_M(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-M}^M f(x)e^{-ixt}dx\] \[\mbox{et }lim_{M\to \infty} {\parallel}\hat f_M-f {\parallel}_2=0\] \[\mbox{avec }\hat f_M(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-M}^M \hat f(t) e^{ixt}dt\]

on peut aussi écrire que l’application de \(L^1\cap L^2\) dans \(L^1\cap L^2\) qui à \(f\) associe \(\tilde f\) avec \(\tilde f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{ixt} dt\) s’étend en une isométrie de \(L^2\) dans \(L^2\), et \(f \mapsto \tilde f\) est l’inverse de \(f\mapsto \hat f\) au sens où pour toute \(f \in L^2\), \(\hat{\tilde f}=\tilde {\hat f}=f\) presque partout.

Applications des séries de Fourier

Les applications des séries de Fourier sont innombrables. Outre la résolution d’équations de la chaleur (cf le livre de Zuily & Queffélec), et de nombreuses applications en traitement du signal (remplacer un signal par sa transformée de Fourier le rend beaucoup plus reconnaissable, et un ordinateur parvient ainsi beaucoup mieux à reconnaître un son après transformée de Fourier que sur les données brutes), on peut trouver des applications originales comme le calcul de la somme des \(1/n^2\) développé ci-dessous. La décomposition en séries de Fourier est développée sur deux exemples en fin de partie.

Calcul de \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)

\[\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2=\pi^2/6\]

On applique simplement la formule de Parseval (théorème [parseval]) à la transformée de Fourier de l’application identité de \([-\pi,\pi[\) dans lui-même.

Pour tout \(k\in \mathbb{Z}\), définissons \[c_k=2\pi \hat f(k)\] \[c_k=\int_{-\pi}^{\pi} xe^{ikx}dx\] \[c_0=0\mbox{ c'est-à-dire } \hat f(0)=0.\] \[\mbox{Soit } k\neq 0, \mbox{ alors } c_k= [ \frac{xe^{ikx}}{ik}]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi} e^{ikx} dx =\frac{2\pi(-1)^k}{ik}\] donc pour \(k\neq 0\) \(\hat f(k)=(-1)^k/(ik)\).

Par la formule de Parseval on a alors : \[\begin{array}{cc} \sum_{k\in \mathbb{Z}} |\hat f (k)|^2 & =\sum_{k<0} 1/k^2 +\sum_{k>0} 1/k^2 \\ & =\sum_{k=1}^{+\infty} 2/k^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx=\pi^2/3. \end{array}\] Ainsi \(\sum_{k=1}^\infty 1/k^2 = \pi^2/6\).
Exemple Maple
\(> Sum(1/k\mbox{\^\ }2,k=1..infinity)\) \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\) \(> value(\%)\) \(\frac16\pi^2\)

Exemple de développement en série de Fourier: fonction créneau, fonction identité par morceaux

@ >p(- 0) * @ Exemple Maple

\(>\ fouriers := (f,n) -> (int(f(t)*\sin(n*t),t=-Pi..Pi));\)

\(\begin{array}{c} fourierc := (f, \,n)\rightarrow {\displaystyle \int_{- \pi }^{\pi }} f(t)\,\mathrm{\cos}( n\,t)\,dt\\ fouriers := (f, \,n)\rightarrow {\displaystyle \int_{ - \pi }^{\pi }} f(t)\,\mathrm{\sin}( n\,t)\,dt\\ \end{array}\)

\(>\ serie\_fourier:= (f,n)-> sum(fouriers(f,k)*\sin(k*t),k=1..n)\)
  \(+sum(fourierc(f,k)*\cos(k*t),k=1..n)+fourierc(f,0)/2;\)

\(\begin{array}{ll} serie\_fourier :&= (f, \,n)\rightarrow ({\displaystyle \sum _{k=1}^{n}} \, \mathrm{fouriers}(f, \,k)\,\mathrm{\sin}(k\,t))\\ & + ({\displaystyle \sum _{k=1}^{n}} \,\mathrm{fourierc}(f, \,k)\, \mathrm{\cos}(k\,t)) \end{array}\)

\(>\ p:=array(0..5);\)
\(>\ for\ i\ from\ 1\ by\ 2\ to\ 9\ do\)
\(>\quad \ p[(i-1)/2]:=serie\_fourier(Heaviside,i);\)
\(>\ od;\)
\(>\ p[5]:= Heaviside(t);\)
\(>plot(p,t=-Pi..Pi,title ="Approximations\ d'une\ fonction\ creneau\)
\(par\ series\ de\ Fourier");\)

\(>\ q:=array(0..5);\)
\(>\ for\ i\ from\ 1\ by\ 2\ to\ 9\ do\)
\(>\quad \ q[(i-1)/2]:=serie\_fourier(x->x,i);\)
\(>\ od;\)

\(>\ plot(q,t=-Pi..Pi,title="Approximations\ d'une\ fonction\)
\(lineaire\ par\ morceaux \ par\ series\ de\ Fourier");\)

Il faut bien noter que les coefficients de Fourier étant calculés simplement en fonction du segment \([-\pi,\pi]\), on ne se préoccupe que de la valeur de la fonction sur ces valeurs, d’où la simple définition \(x\mapsto x\) ou \(Heaviside\), où on ne se préoccupe pas de périodiciser la fonction.


  1. 1  Attention à ne pas confondre \({\mathfrak L}^p\) et \({\cal L}^p\), ce dernier désignant l’ensemble des fonctions dont la puissance \(p\)-ième est intégrable, avant de quotienter pour la relation d’égalité presque partout–par passage au quotient on obtient \(L^p\) et en spécialisant aux fonctions définies sur \([-\pi,\pi]\) on obtient \({\mathfrak L}^p\).
  2. 2  Bien noter que \(\infty\) est exclus!

Bibliographie

  • [POM] A. Pommellet, Cours d’analyse, Ellipses 1994.

  • [RUD] W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Masson 1992.


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[ID: 42] [Date de publication: 25 avril 2021 20:18] [Catégorie(s): Le cours d'agrégation ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 5 ] [Auteur(s): Christophe Antonini Olivier Teytaud Pierre Borgnat Annie Chateau Edouard Lebeau ]




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