Anneau des polynômes

image
Etude de l’anneau des polynômes à coefficients dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)

…polynomials are notoriously untrustworthy when extrapolated.
WG Cochran, GM Cox Experimental designs.

Dans tout ce chapitre :

  • \(\mathbb{K}\) désigne un corps (\(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)).

  • \(\mathbb{K}^\mathbb{N}\) ou \(\mathscr S\left(\mathbb{K}\right)\) représente l’ensemble des suites à coefficients dans \(\mathbb{K}\).

  • \(m\), \(n\), \(p\), \(q\), \(r \in \mathbb{N}\) sont des entiers.

Pour bien aborder ce chapitre

Les polynômes sont étudiés depuis la plus haute antiquité. Les babyloniens savaient résoudre les équations du second degré. Plus généralement, la résolution des équations polynomiales a été un moteur de l’étude des polynômes. Nous avons déjà évoqué Tartaglia et Cardano éprouvant le besoin d’introduire les nombres complexes pour résoudre les équations du troisième et quatrième degré, ainsi que Galois aux prises avec les équations du cinquième degré.

François Viète (1540-1603) semble être le premier à les avoir ainsi dénommés.

Pour autant, qu’est-ce qu’un polynôme ? Prenons un exemple. Soit

\[\begin{array}{rcl} f~:\mathbb R &\longrightarrow & \mathbb R\\ x & \longmapsto & f(x) = 3x^4 -2x^2 + x + 1 \end{array}.\] On peut résumer toute l’information contenue dans \(f(x)\) à l’aide de la liste de ses coefficients :; 1; -2; 0 et 3. Un autre polynôme \(g(x) = x^2 - x - 2\) se verra attribuer -2; -1 et 2 comme liste des coefficients. On voit par là que la liste est à longueur variable ce qui n’est pas confortable.

Pour que tous les polynômes soient logés à la même enseigne, on considère une suite (donc infinie) de coefficients pour chaque polynôme en rajoutant des zéros. Autrement dit, un polynôme est assimilé à une suite de coefficients tous nuls sauf (peut-être) un nombre fini d’entre eux.

C’est cette définition purement algébrique qui va être suivie dans ce chapitre. Faudra-t-il pour autant oublier nos bonnes vieilles fonctions polynomiales ? Certes non ! D’abord elles sont à la base de cette nouvelle définition et elles permettent d’établir, via le théorème des valeurs intermédiaires, que tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.

Ce chapitre a beaucoup de points communs avec le précédent. Cependant, il faudra une fois de plus attendre les espaces vectoriels pour bien comprendre les tenants et les aboutissants de celui-ci.

Polynômes à une indéterminée

Définitions

(Polynômes).
On appelle polynôme à coefficients dans \(\mathbb{K}\) une suite \(\left(a_n\right)\) d’éléments de \(\mathbb{K}\) nulle à partir d’un certain rang : \[\left(a_n\right)=\left(a_0,a_1,\dots,a_k,0,\dots\right)\] On note \(\mathbb{K}\left[X\right]\) l’ensemble des polynômes à coefficients dans \(\mathbb{K}\).
(Opérations sur \(\mathbb{K}\left[X\right]\)).
On définit les opérations suivantes sur les polynômes : Soient les polynômes \(P=\left(a_0,a_1,\dots,a_n,0,\dots\right)\in\mathbb{K}\left[X\right]\), \(Q=\left(b_0,b_1,\dots,b_n,0,\dots\right)\in\mathbb{K}\left[X\right]\) et le scalaire \(\lambda\in \mathbb{K}\) : \[P+Q=\left(a_0+b_0,a_1+b_1,\dots,a_n+b_n,0,\dots\right)\] \[\lambda \cdot P=\left(\lambda\cdot a_0,\lambda\cdot a_1,\dots,\lambda\cdot a_n,0,\dots\right)\] \[P\times Q = \left(c_0,c_1,\dots,c_n,\dots\right) \textrm{ où: } \forall k\in\mathbb{N}, \quad c_k=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k b_{n-k}\]
  • A partir d’un certain rang (exercice!), la suite \(\left(c_k\right)\) est nulle. La multiplication est donc bien définie dans \(\mathbb{K}\left[X\right]\).

  • L’addition et la multiplication par un scalaire précédemment définies coïncident avec l’addition et la multiplication définies sur l’espace des suites à coefficients dans \(\mathbb{K}\)\(\mathbb{K}^\mathbb{N}\). Ce n’est par contre pas le cas de la multiplication entre polynômes, qui ne coïncide pas avec celle définie entre les suites.

  • Pour une suite de nombres \((a_k)\) qui sont tous nuls sauf un nombre fini, le nombre \[\sum_{k=0}^{+\infty} a_k\] est la somme de tous les nombres non nuls de cette suite.

En prenant un peu d’avance sur le chapitre [chapitre_ev], on peut énoncer la proposition suivante.

(Structure de \(\mathbb{K}\left[X\right]\)).
  • \(\left(\mathbb{K}\left[X\right],+,\cdot\right)\) est un sous-espace vectoriel du \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\mathbb{K}^\mathbb{N}\). Le vecteur nul est le polynôme \(\left(0,\dots\right)\).

  • \(\left(\mathbb{K}\left[X\right],+,\times\right)\) est un anneau commutatif unitaire. L’élément neutre de la loi \(\times\) est le polynôme \(\left(1,0,\dots\right)\).

  • Attention, en raison de la remarque précédente, \(\left(\mathbb{K},+,\times\right)\) n’est pas un sous-anneau de \(\left(\mathbb{K}^\mathbb{N},+,\times\right)\).

  • Comme \(\left(\mathbb{K}\left[X\right],+,\times\right)\) est un anneau commutatif, la formule du binôme est vraie dans \(\mathbb{K}\left[X\right]\).

Notations définitives :

On note :

  • \(1\) le polynôme \(\left(1,0,\dots\right)\).

  • \(X\) le polynôme \(\left(0,1,0,\dots\right)\).

En multipliant le polynôme \(X\) par lui-même, on obtient pour \(X^n\), le polynôme :

\((0,\dots,0,\dots\) \(,1,\) \(0,\dots)\) .
\(\uparrow\)
place d’indice \(n\)

Avec ces notations, si \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\) est donné par \(P=\left(a_0,a_1,\dots,a_n,0,\dots\right)\), on a:  \[\begin{aligned} P&=&a_0\left(1,0,\dots\right)+ a_1\left(0,1,\dots\right)+\dots+a_n\left(0,\dots,0,1,0,\dots\right)\\ &=&a_0 \cdot 1+ a_1\cdot X + \dots+ a_n\cdot X^n\newline &=&a_0+a_1X+\dots+a_nX^n.\end{aligned}\]

Du fait que la multiplication des polynômes est abstraite, il est nécessaire d’effectuer un certain nombre de vérifications qui n’auraient pas lieu d’être avec des fonctions polynomiales. La plupart de ces vérifications sont immédiates.
La multiplication est commutative : Soient \(P=a_0+\dots+a_pX^p \in\mathbb{K}\left[X\right]\) et \(Q=b_0+\dots+b_pX^q \in\mathbb{K}\left[X\right]\), on a : \(PQ = c_0+\dots+c_{p+q}X^{p+q}\) avec, pour \(k = 0, \ldots , p+q\), \(c_k=\sum_{\ell=0}^{k} a_\ell b_{n-\ell} = a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + \ldots + a_{k-1} b_1 + a_k b_0\). En effectuant la somme de droite à gauche, c’est-à-dire en effectuant le changement d’indice \(p = k - \ell\), \(c_k = a_k b_0 + a_{k-1} b_1 + \ldots + a_1 b_{k-1} + a_0 b_k\) ce qui est le coefficient d’indice \(k\) du polynôme \(QP\). Donc \(PQ = QP\).
Associativité : Soit \(P = \displaystyle\sum_i a_i X^i,\, Q = \sum_j b_j X^j,\, R = \sum_k b_k X^k\). On a \(PQ = \displaystyle\sum_\ell d_\ell X^\ell\) avec \(c_\ell = \displaystyle\sum_{i=0}^\ell a_i b_{\ell-i}\). On a alors \((PQ)R = \displaystyle\sum_m f_m X^m\) avec

\[\begin{aligned} f_m &= \sum_{\ell = 0}^m d_\ell c_{m-\ell}\\ &= \sum_{\ell = 0}^m \left( \sum_{j=0}^\ell a_{\ell-j}b_j\right) c_{m-\ell}\\ &= \sum_{\ell = 0}^m \sum_{j=0}^\ell a_{\ell-j}b_j c_{m-\ell}\\ &= \sum_{j = 0}^m \sum_{\ell=j}^m a_{\ell-j}b_j c_{m-\ell}.\end{aligned}\]

(-0.5,-0.5)(4.5,4.5) (-0.3,0)(4,0) (0,-0.3)(0,4) (-0.3,-0.3)(4,4) (0,3.7)(3.7,3.7) (0,0)(3.7,3.7)(3.7,0) (3.7,-0.3)\(m\) (4.3,0)\(\ell\) (0,4.3)\(j\) (-0.3,3.7)\(m\)

On effectue un changement d’indice \(p = \ell-j\) c’est-à-dire \(\ell = p+j\).
\[\begin{aligned} f_m &= \sum_{j = 0}^m \sum_{p=0}^{m-j} a_p b_j c_{m-p-j}\\ &= \sum_{p=0}^m\sum_{j = 0}^{m-p} a_p b_j c_{m-p-j}\\ &= \sum_{p=0}^m a_p\sum_{j = 0}^{m-p} b_j c_{m-p-j}\\ &= \sum_{p=0}^m a_p g_{m-p} \end{aligned}\]

(-0.5,-0.5)(4.5,4.5) (-0.3,0)(4,0) (0,-0.3)(0,4) (0,0)(3.7,0)(0,3.7) (3.7,-0.3)\(m\) (4.3,0)\(\ell\) (0,4.3)\(p\) (-0.3,3.7)\(m\)

\(g_n = \displaystyle\sum_{q=0}^n b_q c_{n-q}\) désigne le \(n\)-ième coefficient de \(QR\). Autrement dit \(f_m\) est aussi le \(m\)-ième coefficient de \(P(QR)\).
Le principal intérêt de l’algèbre linéaire (qui ne va plus tarder maintenant) est d’éviter ce genre de démonstration particulièrement indigeste. Voici comment nous pourrons rédiger une démonstration très bientôt.
Soit \(Q\) et \(R\) deux polynômes. On cherche à démontrer que \(\begin{array}{rcl} \Phi_{Q,R}~: \mathbb{K}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{K}\left[X\right]\\ P & \longmapsto & (PQ)R - P(QR) \end{array}\) est l’application nulle. Or \(\Phi_{Q,R}\) est une application linéaire. Pour démontrer que son image est réduite au vecteur nul, il suffit de démontrer que toutes les images d’une famille génératrice sont nulles. Par exemple que \(\forall\,n\in\mathbb{N}, \Phi_{Q,R}(X^n) = (X^nQ)R - X^n(QR) = 0\).
Pour cela, soit \(n\in\mathbb{N}\) et \(R\in\mathbb{K}\left[X\right]\) On cherche donc à démontrer que \(\begin{array}{rcl} \Psi_{n,R}~: \mathbb{K}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{K}\left[X\right]\\ Q & \longmapsto & (X^nQ)R - X^n(QR) \end{array}\) est l’application nulle. Or \(\Psi_{n,R}\) est une application linéaire. Pour démontrer que son image est réduite au vecteur nul, il suffit de démontrer que toutes les images d’une famille génératrice sont nulles. Par exemple que \(\forall\,m\in\mathbb{N}, \Psi_{n,R}(X^m) = (X^nX^m)R - X^n(X^mR) = 0\).
Pour cela, soit \(n\in\mathbb{N}\) et \(m\in\mathbb{N}\) On cherche donc à démontrer que \(\begin{array}{rcl} \Theta_{n,m}~: \mathbb{K}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{K}\left[X\right]\newline Q & \longmapsto & (X^nX^m)R - X^n(X^mR) \end{array}\) est l’application nulle. Or \(\Theta_{n,m}\) est une application linéaire. Pour démontrer que son image est réduite au vecteur nul, il suffit de démontrer que toutes les images d’une famille génératrice sont nulles. Par exemple que \(\forall\,p\in\mathbb{N}, \Psi_{n,R}(X^p) = (X^nX^m)X^p - X^n(X^mX^p) = 0\). Or cette dernière égalité est vérifiée immédiatement. Ce qui établit le résultat.

Degré d’un polynôme

(Degré d’un polynôme, terme dominant).
Soit un polynôme \(P=a_0+\dots+a_pX^p \in\mathbb{K}\left[X\right]\) avec \(a_p\neq 0\).
  • On appelle degré de \(P\) et on note \(\deg\left(P\right)\) l’entier \(p\).

  • Par convention, le degré du polynôme nul est \(-\infty\).

  • On appelle terme dominant de \(P\) le monôme \(a_p X^p\).

(Polynôme normalisé).
On appelle polynôme normalisé un polynôme dont le terme dominant est égal à \(1\).
(Degré d’un produit, degré d’une somme).
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\), on a :
  1. \(\boxed{\deg\left(P+Q\right)\leqslant\max \left(\deg \left(P\right), \deg \left(Q\right)\right)}\);

  2. \(\boxed{\deg\left(P\times Q\right)=\deg\left(P\right) + \deg \left(Q\right)}\).

    • Si \(P=Q=0\) alors \(\deg P=\deg Q=-\infty\), \(\deg \left(P+Q\right)=-\infty\) et la formule est prouvée dans ce cas.

    • Si \(P\) ou \(Q\) est non nul alors, supposant, quitte à interchanger \(P\) et \(Q\), que \(P\neq 0\), on a : \(P=\sum_{k=0}^n a_k X^k\), \(Q=\sum_{k=0}^n b_k X^k\)\(n=\max\left(\deg P,\deg Q\right)\) et où les \(a_k\) pour \(k\in\llbracket 1,n\rrbracket\) ne sont pas tous nuls (en l’occurrence, les \(b_k\) peuvent être tous nuls). On a donc : \(P+Q=\sum_{k=0}^n \left(a_k+b_k\right)X^k\). Si \(a_n+b_n\neq 0\) alors \(\deg \left(P+Q\right)=\max\left(\deg P,\deg Q\right)\) et sinon \(\deg\left(P+Q\right)\leqslant\max \left(\deg \left(P\right), \deg \left(Q\right)\right)\).

    • Si \(P=0\) ou \(Q=0\) alors \(PQ=0\) et \(\deg\left(PQ\right)=-\infty=\deg P+\deg Q\) d’après les lois d’addition dans \(\overline \mathbb{R}\).

    • Sinon, on suppose que \(P=\sum_{k=0}^n a_k X^k\), \(Q=\sum_{k=0}^m b_k X^k\)\(a_n\neq 0\) et où \(b_m\neq 0\). Par conséquent, \(n=\deg P\) et \(m=\deg Q\). Quitte à échanger le rôle de \(P\) et de \(Q\), on peut supposer que \(n\geqslant m\). Soit \(l\in\mathbb{N}\). Notons \(c_l\) le coefficient d’indice \(l\) dans \(PQ\). D’après la définition du produit de deux polynômes [add_mult_polynomes] et d’après la remarque suivant cette définition, on a : \[c_l=\begin{cases}\sum_{k=0}^l a_k b_{l-k} &\textrm{ si } l< m+n\newline 0 &\textrm{ si } l\geqslant m+n\end{cases}.\] Nécessairement, \(\deg\left(PQ\right)\leqslant m+n\). Mais le coefficient d’indice \(m+n\) dans \(PQ\) est \(a_n b_m\neq 0\) donc \(\deg\left(P\times Q\right)=\deg\left(P\right) + \deg \left(Q\right)\).

Si \(\deg\left(P\right) \neq \deg \left(Q\right)\) alors \(\deg\left(P+Q\right)= \max \left(\deg \left(P\right), \deg \left(Q\right)\right)\).
(Intégrité de l’anneau des polynômes \(\mathbb{K}\left[X\right]\)).
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\). \[\boxed{P\times Q=0 \Rightarrow P=0 \textrm{ ou } Q=0}\]
Si \(P\times Q=0\) alors \(\deg\left(P\times Q\right)=-\infty=\deg P +\deg Q\) ce qui n’est possible que si \(\deg P=-\infty\) ou \(\deg Q=-\infty\) et donc que si \(P=0\) ou \(Q=0\).
(Éléments inversibles de l’anneau \(\mathbb{K}\left[X\right]\)).
Les seuls éléments inversibles de l’anneau \(\mathbb{K}\left[X\right]\) sont les polynômes de degré \(0\), c’est-à-dire les polynômes constants non nuls. Autrement dit, si \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) et si \(P\times Q=1\) alors il existe \(\alpha\in\mathbb{K}^*\) tel que \(P=\alpha\) et \(Q=\alpha^{-1}\).
Soit \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme inversible. Il existe alors un polynôme \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que : \(P\times Q=1\). On a donc : \(\deg P+\deg Q=0\). Cette égalité n’est possible que si \(\deg P= \deg Q=0\) et donc que si \(P\) est un polynôme constant non nul. Réciproquement, si \(P\) est un polynôme constant non nul alors il est clair que \(P\) est inversible.

Valuation d’un polynôme

(Valuation d’un polynôme).
Soit un polynôme \(P=a_0+\dots+a_pX^p \in\mathbb{K}\left[X\right]\) non nul. On appelle valuation de \(P\) le plus petit entier \(k\) tel que \(a_k\neq0\). On le note \({\mathop{\mathrm{val}}}(P)\). Par définition, la valuation du polynôme nul est \({\mathop{\mathrm{val}}}(0) = +\infty\)
(Valuation d’un produit, valuation d’une somme).
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\), on a :
  1. \(\boxed{{\mathop{\mathrm{val}}}\left(P+Q\right)\geqslant\min \left({\mathop{\mathrm{val}}} \left(P\right), {\mathop{\mathrm{val}}} \left(Q\right)\right)}\);

  2. \(\boxed{{\mathop{\mathrm{val}}}\left(P\times Q\right)={\mathop{\mathrm{val}}}\left(P\right) + {\mathop{\mathrm{val}}} \left(Q\right)}\).

Composition de polynômes

(Composition de deux polynômes).
Soient deux polynômes \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\). On suppose que \(P=a_0+a_1X+\dots+a_nX^n\). On définit le polynôme composé de \(Q\) par \(P\), noté \(P\circ Q\), par : \[P\circ Q = \sum_{k=0}^n a_k Q^k.\]
Soient deux polynômes non nuls \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\). Alors : \[\boxed{\deg\left(P\circ Q\right) = \deg\left(P\right)\times \deg\left(Q\right)}.\]
Supposons que \(P=a_0+a_1X+\dots+a_nX^n\). Comme \(P\neq 0\), on a \(a_n\neq 0\). Alors \(P\circ Q = \sum_{k=0}^n a_k Q^k\) et \(\deg \left(P\circ Q\right)=\deg{Q^n}=n \deg Q =\deg P \times \deg Q\) car \(Q\neq 0\).

Division euclidienne

(Divisibilité).
Soient deux polynômes \(A\), \(B\in\mathbb{K}\left[X\right]\). On dit que \(A\) divise \(B\) si et seulement si il existe \(Q\in \mathbb{K}\left[X\right]\) tel que \(B=QA\). On le note \(A|B\) .
  • \(\left(X-1\right)\) divise \(X^2-2X+1\). En effet : \(X^2-2X+1 = \left(X-1\right)^2\)

  • \(\left(X-1\right)\) divise \(X^2-1\). En effet : \(X^2 -1 =\left(X-1\right)\left(X+1\right)\).

  • \(\left(1-X\right)\) divise \(1-X^{n+1}\). En effet : \(1-X^{n+1}=\left(1+X+X^2+\dots+X^n\right)\left(1-X\right)\).

(Polynômes associés ).
Soient \(A\), \(B\in\mathbb{K}\left[X\right]\) deux polynômes non nuls. On a équivalence entre :
  1. \(A|B\) et \(B|A\).

  2. \(\exists \lambda\in\mathbb{K}^*:\quad B=\lambda A\).

Deux tels polynômes sont dits associés.
  • Supposons que \(A|B\) et \(B|A\). Alors il existe des polynômes \(Q_1,Q_2\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tels que : \(A=Q_1 B\) et \(B=Q_2 A\). On a alors : \(A=\left(Q_1 Q_2\right)A\) ou encore : \(A\left(1-Q_1Q_2\right)=0\). Par intégrité de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) [integrite_polynomes], comme \(A\neq 0\), ceci n’est possible que si \(1-Q_1Q_2=0\) c’est-à-dire si : \(Q_1Q_2=1\). Par conséquent, \(Q_1\) et \(Q_2\) sont des polynômes inversibles inverses l’un de l’autre. Appliquant la proposition [polynome_inversible], il existe \(\alpha\in\mathbb{K}^*\) tel que \(Q_1=\alpha\) et \(Q_2=\alpha^{-1}\). On a alors \(B=\alpha A\). \(A\) et \(B\) snt donc bien associés.

  • La réciproque est triviale.

(Division euclidienne).
Soient \(A\), \(B\in\mathbb{K}\left[X\right]\) deux polynômes. On suppose que \(B\neq 0\). Alors il un couple \(\left(Q,R\right)\) de polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) vérifiant : \[\boxed{\begin{cases} \quad 1\quad A=BQ+R\newline \quad 2 \quad \deg\left(R\right) < \deg\left(B\right) \end{cases}}.\]
  • Soient \(\left(Q_1,R_1\right)\in\left(\mathbb{K}\left[X\right]\right)^2\) et \(\left(Q_2,R_2\right)\in\left(\mathbb{K}\left[X\right]\right)^2\) tels que : \[\begin{cases} A=BQ_1+R_1\\ \deg\left(R_1\right) < \deg\left(B\right) \end{cases} \quad \textrm{ et} \quad\begin{cases} A=BQ_2+R_2\\ \deg\left(R_2\right) < \deg\left(B\right) \end{cases}\] alors \(B\left(Q_1-Q_2\right)=R_1-R_2\) et donc, si \(Q_1-Q_2\neq 0\), \(\deg\left(B\left(Q_1-Q_2\right)\right)=\deg\left(R_1-R_2\right)<\deg B\). Par ailleurs \(\deg\left(B\left(Q_1-Q_2\right)\right)=\deg B + \deg\left(Q_1-Q_2\right)\geqslant\deg B\) ce qui constitue une contradiction. Si \(Q_1=Q_2\) alors \(R_1-R_2=0\) et \(R_1=R_2\).

  • La démonstration se fait par récurrence sur \(n=\deg A\). Fixons pour toute la suite \(B=b_0+b_1X+\dots+b_mX^m\) avec \(b_m\neq 0\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}\), notons \(P_n\) la propriété : \[P_n: \textrm{ pour tout $A\in\mathbb{K}\left[X\right]$ de degré $n$, il existe $\left(Q,R\right)\in \left(\mathbb{K}\left[X\right]\right)^2$ tels que $\begin{cases} \quad 1\quad A=BQ+R\\ \quad 2 \quad \deg\left(R\right) < \deg\left(B\right) \end{cases}$}\]

    • \(P_0\), \(P_1\), \(\dots\), \(P_{m-1}\) sont vraies. Si \(A\) est un polynôme de degré \(n\in\llbracket 0,m-1\rrbracket\), il suffit de prendre \(Q=0\) et \(R=A\). On a bien : \(A=BQ+R\) et \(\deg R=\deg A =n<m\).

    • Soit \(n\geqslant m\).

    • Supposons que la propriété \(P_n\) est vraie. C’est notre hypothèse de récurrence et montrons que \(P_{n+1}\) est vraie. Soit \(A=a_0+a_1X+\dots+a_{n+1}X^{n+1}\) un polynôme de degré \(n+1\). Posons \(A_1=A-{\scriptstyle a_{n+1}\over\scriptstyle b_m} X^{n-m}B\). Le polynôme \(A_1\) est de degré \(n\). On lui applique alors l’hypothèse de récurrence. Il existe \(\left(Q_1,R_1\right)\in \left(\mathbb{K}\left[X\right]\right)^2\) tels que \(\begin{cases} \quad 1\quad A_1=Q_1 B+R_1\newline \quad 2 \quad \deg\left(R_1\right) < \deg\left(B\right) \end{cases}\). Posons \(Q=Q_1+ {\scriptstyle a_{n+1}\over\scriptstyle b_m}X^{n-m}\) et \(R=R_1\). On a : \[QB+R=\left(Q_1+ {\scriptstyle a_{n+1}\over\scriptstyle b_m}X^{n-m}\right)B + R_1 = BQ_1+R + {\scriptstyle a_{n+1}\over\scriptstyle b_m}X^{n-m}B = A_1 + {\scriptstyle a_{n+1}\over\scriptstyle b_m}X^{n-m}B =A\] et \(\deg R<\deg B\).

    • Le théorème est alors prouvé par application du théorème de récurrence.

\(\begin{array}{rcrcrcrc|c} X^3 &+& & & X &+& 1 & & X + 1 \\\cline{9-9} -(X^3 &+& X^2) & & & & & & X^2 - X + 2 \\\cline{1-3} & & -X^2 &+& X & & & & \\ & & -(-X^2 &-& X) & & & & \\\cline{3-5} & & & & 2X &+& 1 & & \\ & & & &-(2X &+& 2) & & \newline\cline{5-7} & & & & & & -1 & & \end{array}\)

On a donc: \(X^3+X+1= \left(X+1\right) \left(X^2 - X + 2\right) -1\) et \(\deg\left(-1\right)=0 < \deg\left(X+1\right)=1\).

Division selon les puissances croissantes

La division des polynômes suivant les puissances croissantes est hors programme mais est utile dans de nombreux cas. Nous la présentons à titre complémentaire.

(Division selon les puissances croissantes).
Soient \(A\) et \(B\) deux polynômes à coefficients dans \(\mathbb{K}\). On suppose que le terme constant de \(B\) n’est pas nul et on note \(p\) un entier supérieur ou égal au degré de \(B\). Il existe un unique couple de polynômes \((Q, R)\) tels que \(A = BQ + X^{p+1}R\) et \(\deg Q \leqslant p\).
\(A = 1+3X+2X^2-7X^3,\quad B = 1+X-2X^2\quad p = 3\). La présentation est celle de la division des nombres décimaux lorsqu’on veut un quotient à \(10^{-p}\). Le rôle de \(X\) étant joué par \(10^{-1}\).

\[\left. \begin{matrix} 1&+3X&+2X^2&-7X^3 & & \\ &+2X&+4X^2&-7X^3 & & \\ & &+2X^2&-3X^3 & & \\ & & &-5X^3&+4X^4 & \\ & & & &+9X^4&-10X^5 \end{matrix} \right| \begin{matrix} 1&+X&-2X^2& \\ \hline 1&+2X&+2X^2&-5X^3 \\ \\ \\ \newline \end{matrix}\]

Ce qui s’écrit : \[\underbrace{1 + 3X + 2X^2 - 7X^3}_A = \underbrace{(1 + X - 2X^2)}_B\underbrace{(1 + 2X + 2X^2 - 5X^3)}_Q + X^4\underbrace{(9 - 10X)}_R.\] On peut l’interpréter en termes de développements limités en zéro : \[\dfrac{1 + 3x + 2x^2 - 7x^3}{1 + x - 2x^2} = 1 + 2x + 2x^2 - 5x^3 + o(x^3).\]
  1. On suppose l’existence de deux couples (\(Q_1,R_1), (Q_2,R_2)\) résultat de la division selon les puissances croissantes de \(A\) par \(B\) à l’ordre \(p\), on va montrer qu’ils sont égaux. On dispose des égalités : \[A = BQ_1 + X^{p+1}R_1,\quad A = BQ_2 + X^{p+1}R_2 \quad\textrm{ donc}\quad \quad B(Q_1-Q_2) = X^{p+1}(R_2-R_1) .\] On regarde les valuations des deux membres. Par hypothèse \(\textrm{ val }B = 0\). Donc \(\textrm{ val }B(Q_1-Q_2) = \textrm{ val }B + \textrm{ val }(Q_1-Q_2) = \textrm{ val }(Q_1-Q_2)\). D’autre part \(\textrm{ val }X^{p+1}(R_2-R_1)\geqslant p+1\). Conclusion : \(Q_1-Q_2\) est un polynôme dont la valuation est supérieure au degré, c’est donc le polynôme nul. Donc \(Q_1 = Q_2\) et par suite \(R_1 = R_2\).

  2. Comme dans l’exemple, on va poser notre division, supposer qu’on a réussi à l’ordre \(p\) et passer à l’ordre \(p+1\). \[A = a_0 + \cdots + a_{n-1}X^{n-1} + a_nX^n \quad \textrm{ et}\quad B = b_0 + \cdots + b_{n-1}X^{n-1} + b_nX^n \quad \textrm{ avec}\quad b_0\neq 0\] On raisonne donc par récurrence sur \(p\). Si \(p = 0\) : \[A = \dfrac {a_0}{b_0}B + X.R_0 \quad \textrm{ avec}\quad R_0 =\left(a_1 - \dfrac {a_0b_1}{b_0}\right) + \left(a_2 - \dfrac {a_0b_2}{b_0}\right)X + \cdots + \left(a_n - \dfrac{a_0b_n}{b_0}\right)X^{n-1}\] \(Q_0 = \dfrac {a_0}{b_0}\) et on a bien \(\deg Q_0 \leqslant p\). On suppose maintenant le résultat vrai pour l’ordre \(p\) et montrons le à l’ordre \(p + 1\). L’hypothèse de récurrence montre l’existence d’un couple \((Q_p,R_p)\) tel que : \[A = Q_pB + X^{p+1}R_p \quad \textrm{ avec}\quad \deg Q_p \leqslant p .\] On applique la division selon les puissances croissantes à l’ordre \(0\) pour \(R_p\) et \(B\) : \[\exists\, \lambda_p \in \mathbb K,\; \exists\, R_{p+1} \in \mathbb K[X]~: \quad \quad R_p = \lambda_pB + XR_{p+1}\] En remplaçant la valeur de \(R_p\) dans l’égalité au-dessus on obtient : \[A = Q_pB + X^{p+1}(\lambda_pB + XR_{p+1}) \quad\textrm{ et si}\quad Q_{p+1} = Q_p + \lambda_pX^{p+1} \quad\textrm{ alors}\quad A = Q_{p+1}B + X^{p+2}R_{p+1}\quad\textrm{ avec}\quad \deg Q_{p+1} \leqslant p+1\] Ce qu’il fallait vérifier.

Fonctions polynomiales

On cherche à démontrer que tout polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul. On peut le démontrer par récurrence grâce au théorème de Rolle dans le cas où \(\mathbb{K}= \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{Q}\). Dans le cas de \(\mathbb{C}\), il n’y a plus de théorème de Rolle...

Fonctions polynomiales

(Fonctions polynomiales).
Soit \(P=a_0+a_1X+\dots+a_nX^n\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme. On appelle fonction polynomiale associée à \(P\) la fonction donnée par : \[\widetilde P: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K} & \longrightarrow & \mathbb{K} \newline x & \longmapsto & a_0+a_1x+\dots+a_nx^n \end{array} \right. .\] Nous noterons \(\mathscr P\) le sous-espace vectoriel de \(\mathscr F\left(\mathbb{K},\mathbb{K}\right)\) des fonctions polynomiales.
\(\mathscr P\) est à la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de \(\mathscr F\left(\mathbb{K},\mathbb{K}\right)\)
L’application \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathscr F\left(\mathbb{K},\mathbb{K}\right) \newline P & \longmapsto & \widetilde P \end{array} \right.\] est un morphisme de \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels et d’anneau. En particulier, si \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) et si \(\lambda\), \(\mu\in \mathbb{K}\), on a : \[\widetilde{\lambda P + \mu Q} = \lambda \widetilde P + \mu \widetilde Q,\] \[\widetilde{P\times Q}=\widetilde P \times \widetilde Q,\] \[\widetilde{P\circ Q}=\widetilde P \circ \widetilde Q.\] De plus \(\mathop{\mathrm{Im}}\theta = \theta\left(\mathbb{K}\left[X\right]\right)=\mathscr P\).
Laissée en exercice.

Racines d’un polynôme

(Racine d’un polynôme).
Soit \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme. Soit \(\alpha\in\mathbb{K}\). On dit que \(\alpha\) est une racine de \(P\) si et seulement si \({\widetilde P}\left(\alpha\right)=0\).
Soient \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme et \(\alpha\in K\) un scalaire. On a équivalence entre :
  1. \(\alpha\) est une racine de \(P\).

  2. On peut factoriser \(P\) par \(X-\alpha\), c’est-à-dire : \(\left(X-\alpha\right) | P\).

  • Soit \(\alpha\) une racine de \(P\). Alors \({\widetilde P}\left(\alpha\right)=0\). Par division euclidienne, il existe \(\left(Q,R\right)\in\left(\mathbb{K}\left[X\right]\right)^2\) tels que : \(\begin{cases} P=\left(X-\alpha\right)Q+R\newline \deg\left(R\right) < \deg\left(X-\alpha\right)=1 \end{cases}\). On a alors deux possibilités, soit \(\deg R=0\), soit \(\deg R=-\infty\), c’est-à-dire \(R=0\). Montrons que la première n’est pas possible. Si on avait \(\deg R=0\) alors il existerait \(\gamma\in\mathbb{K}^*\) tel que \(R=\gamma\) et on aurait \(A=\left(X-\alpha\right)Q+\gamma\), mais alors \(P=\left(X-\alpha\right) Q+\gamma\) et \(0= \widetilde P\left(\alpha\right) = \widetilde R \left(\alpha\right) =\gamma \neq 0\) ce qui est une contradiction. On a donc bien \(R=0\) et \(P=\left(X-\alpha\right)Q\).

  • Supposons que \(\left(X-\alpha\right) | P\). Alors il existe \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que \(P=\left(X-\alpha\right)Q\). Par conséquent, \(P = \left(X-\alpha\right) Q\) et \(\widetilde P\left(\alpha\right)=0\) ce qui prouve que \(\alpha\) est une racine de \(P\).

Si \(\alpha_1,\dots, \alpha_p\) sont \(p\) racines distinctes d’un polynôme \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\) alors le polynôme \[\boxed{\left(X-\alpha_1\right)\dots\left(X-\alpha_p\right)=\prod_{k=1}^p\left(X-\alpha_k\right)}\] divise \(P\).
La démonstration se fait par récurrence sur le nombre \(p\) de racines distinctes de \(P\) considérées. La propriété vient d’être prouvée au rang \(1\) dans le théorème précédent. Soit \(p> 1\). On suppose que la propriété est vraie au rang \(p-1\). Prouvons-la au rang \(p\). Soient \(\alpha_1,\dots,\alpha_p\) \(p\) racines de \(P\). Par application de l’hypothèse de récurrence, il existe \(B\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que \(P=\left(X-\alpha_1\right)\dots\left(X-\alpha_{p-1}\right)B\). Comme \(\alpha_p\) est une racine de \(P\), on a : \[0 = \widetilde P\left(\alpha\right) = \left(\alpha_p-\alpha_1\right)\dots\left(\alpha_p-\alpha_{p-1}\right) \widetilde B\left(\alpha\right).\] Comme : \(\forall i\in\llbracket 1,p-1\rrbracket,\quad \alpha_i\neq \alpha_p\), le nombre \(\left(\alpha_p-\alpha_1\right)\dots\left(\alpha_p-\alpha_{p-1}\right)\) est non nul et donc nécessairement \(\widetilde B\left(\alpha\right)=0\), c’est-à-dire \(\alpha_p\) est une racine de \(B\). Appliquant le théorème précédent, il existe \(C\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que : \(B=\left(X-\alpha_p\right)C\) et donc \(P=\left(X-\alpha_1\right)\dots\left(X-\alpha_p\right)C\). On a alors prouvé que \(\left(X-\alpha_1\right)\dots\left(X-\alpha_p\right)\) divise \(P\). Le théorème est alors prouvé par application du principe de récurrence.
(Un polynôme non nul de degré \(\leqslant n\) admet au plus \(n\) racines).
Soit \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme non nul de degré \(\leqslant n\). Si \(P\) admet au moins \(n+1\) racines distinctes alors \(P\) est nul.
Supposons qu’il existe \(\alpha_1,\dots,\alpha_{n+1}\) \(n+1\) racines distinctes du polynôme \(P\) non nul de degré \(\geqslant n\). D’après le théorème précédent, le polynôme de degré \(n+1\) : \(\left(X-\alpha_1\right)\dots\left(X-\alpha_{n+1}\right)\) divise \(P\). Il existe donc \(B\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que : \(P=B\left(X-\alpha_1\right)\dots\left(X-\alpha_{n+1}\right)\). On a alors \(n=\deg P=\deg B + n+1\). Comme \(\deg P\geqslant 0\), cette égalité n’est pas possible et donc notre hypothèse de départ est absurde.

On en déduit :

Tout polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul.
(Identification polynômes et fonctions polynomiales).
L’application \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathscr F\left(\mathbb{K},\mathbb{K}\right) \newline P & \longmapsto & \widetilde P \end{array} \right.\] qui envoie un polynôme sur sa fonction polynomiale associée est injective.
Soit \(P\) et \(Q\) deux polynômes vérifiant \(\theta(P) = \theta(Q)\) soit \(\widetilde {P-Q} = 0\). Le polynôme \(P-Q\) possède donc une infinité de racines (tous les éléments de \(\mathbb{K}\)), ce qui n’est possible, d’après la proposition précédente, que si \(P-Q=0\).

Ce théorème permet de confondre polynômes et applications polynomiales. Attention, ceci est vrai à condition que \(\mathbb{K}\) contienne une infinité d’éléments, ce qui est bien notre cas car \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).

Schéma de Horner

C’est une façon de calculer les valeurs d’un polynôme en minimisant le nombre d’opérations, en particulier les multiplications. Soit \(P = a_0 + a_1X + a_2X^2 + a_3X^3 +\ldots + a_{n-2}X^{n-2} + a_{n-1}X^{n-1} + a_nX^n\). On a \(P = a_0 + X(a_1 + X(a_2 + X(a_3 + \ldots+ X(a_{n-2} + X(a_{n-1} + a_nX))\ldots)))\). Donc pour calculer \(P(\alpha)\) on initialise avec \(a_n\) ensuite on effectue une boucle : multiplier par \(\alpha\) puis ajouter le coefficient \(a_k\). Cet algorithme utilise \(n\) additions et \(n\) multiplications pour un polynôme de degré \(n\).

On peut aussi obtenir le quotient de la division euclidienne de \(P\) par \(X-\alpha\) : \(P=\left(X-\alpha\right)Q+P(\alpha)\) avec \(Q = b_0 + b_1X + \ldots + b_{n-1}X^{n-1}\). En effet, on a \[\begin{aligned} P(X) - P(\alpha) &= (X - \alpha) (b_{n-1}X^{n-1} + \ldots + b_1X + b_0),\\ a_nX^n + \ldots + a_1X + a_0 - P(\alpha) &= (X - \alpha) (b_{n-1}X^{n-1} + \ldots + b_1X + b_0) ,\\ a_nX^n + \ldots + a_1X + a_0 - P(\alpha) &= b_{n-1} X^n + (b_{n-2} -\alpha b_{n-1})X^{n-1} + \ldots + (b_0 - \alpha b_1)X - \alpha b_0 .\end{aligned}\] Par identification, on obtient le système ( d’inconnues \(b_0, b_1, ... , b_{n-1}, P(\alpha)\) ) :
\[\left\lbrace \begin{array}{lcl} b_{n-1} &=& a_n \\ b_{n-2} - \alpha b_{n-1} &=& a_{n-1}\\ \ldots &&\\ b_0 - \alpha b_1 &=& a_1 \\ - \alpha b_0 &=& a_0 - P(\alpha) \end{array}\right.\] soit \[\left\lbrace \begin{array}{lcl} b_{n-1} &=& a_n \\ b_{n-2} &=& a_{n-1} + \alpha b_{n-1}\\ \ldots &&\\ b_0 &=& a_1 + \alpha b_1\newline P(\alpha) &=& a_0 + \alpha b_0 \end{array}\right.\] Autrement dit, les différents coefficients du polynôme quotient \(Q\) sont les nombres obtenus à chaque étape de la boucle.

Racines multiples

(Racine d’ordre \(p\), racine multiple).
Soient \(P\in \mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme, \(\alpha\in\mathbb{K}\), \(p\in\mathbb{N}^*\).
  • On dit que \(\alpha\) est une racine d’ordre \(p\) (ou de multiplicité \(p\)) de \(P\) si et seulement si \(\left(X-\alpha\right)^p\) divise \(P\) et \(\left(X-\alpha\right)^{p+1}\) ne divise pas \(P\).

  • Si \(\alpha\) est une racine d’ordre \(1\) de \(P\), on dit que \(\alpha\) est une racine simple de \(P\).

  • Si \(\alpha\) est une racine d’ordre \(\geqslant 2\) de \(P\), on dit que \(\alpha\) est une racine multiple de \(P\).

(Caractérisation de l’ordre d’une racine).
Soient \(\alpha\in\mathbb{K}\) un scalaire et \(P\in \mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme. On a équivalence entre :
  1. \(\alpha\) est une racine multiple de \(P\) d’ordre \(p\).

  2. Il existe \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que \(P=\left(X-\alpha\right)^p Q\) et \(Q\left(\alpha\right)\neq 0\).

  • Supposons que \(\alpha\) est une racine multiple de \(P\) d’ordre \(p\). Comme \(\left(X-\alpha\right)^p\) divise \(P\), il existe \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que \(P=\left(X-\alpha\right)^p Q\). Si on avait \(Q\left(\alpha\right)= 0\), alors \(\alpha\) serait une racine de \(Q\) et il existerait \(Q'\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que \(Q=\left(X-\alpha\right)Q'\). Par suite, on aurait \(P=\left(X-\alpha\right)^{p+1} Q'\) et \(\left(X-\alpha\right)^{p+1}\) diviserait \(P\), ce qui n’est, par hypothèse, pas possible. Donc \(Q\left(\alpha\right)\neq 0\).

  • On suppose qu’il existe \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que \(P=\left(X-\alpha\right)^p Q\) et \(Q\left(\alpha\right)\neq 0\). Donc \(\left(X-\alpha\right)^{p}\) divise \(P\). Si c’est aussi le cas de \(\left(X-\alpha\right)^{p+1}\), alors il existe \(\widetilde Q\in\mathbb{K}[X]\) tel que \(P=\left(X-\alpha\right)^{p+1} \widetilde Q\). Mais alors \(Q=\left(X-\alpha\right)\widetilde Q\) et \(Q(\alpha)=0\), ce qui contredit notre hypothèse.

Polynômes dérivés

Définitions et propriétés de base

(Polynôme dérivé).
Soit \(P=a_0+a_1 X+\cdots+a_n X^n\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme. On définit le polynôme dérivé de \(P\) par : \[\begin{aligned} P' &=& a_1 + 2a_2 X+\cdots+na_nX^{n-1}\newline &=& \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1}.\end{aligned}\]
  • Cette définition est purement algébrique.

  • Elle coïncide avec la dérivée des fonctions polynomiales sur le corps \(\mathbb{K}\)·

Soit \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme. On a :
  1. Si \(\deg\left(P\right)>0\) alors \(\deg\left(P'\right)=\deg\left(P\right)-1\).

  2. \(P\) est constant si et seulement si \(P'=0\).

  1. Si \(\deg\left(P\right)=p>0\) alors \(P=\sum_{k=0}^p a_k X^k\) avec \(a_p\neq 0\) et \(P'=\sum_{k=0}^{p-1} k a_k X^k\). Le coefficient de terme dominant de \(P'\) est \(pa_p\) qui est non nul. Par conséquent \(\deg P'=p-1\).

  2. Si \(P\) est constant, il est clair que \(P'=0\). Réciproquement, si \(P\) n’est pas constant, alors \(\deg P>0\) et \(\deg P'\geqslant 0\) ce qui prouve que \(P'\) est non nul.

(Linéarité de la dérivation).
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) deux polynômes et \(\alpha\), \(\beta \in \mathbb{K}\) deux scalaires. On a : \[\boxed{\left(\alpha P + \beta Q\right)'=\alpha P' + \beta Q'}.\] On dit que l’opération de dérivation est linéaire.
Laissée en exercice.
(Dérivée d’un produit).
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) deux polynômes. On a : \[\boxed{\left( P Q\right)'= P'Q + P Q'}.\]
Supposons que \(P=\sum_{k\in\mathbb{N}} a_k X^k\) et \(Q=\sum_{k\in\mathbb{N}} b_k X^k\). On a donc \(PQ=\sum_{i+j=0}^{+\infty} a_i b_j X^{i+j}\) et \[\begin{aligned} \left(PQ\right)'&=& \sum_{i+j=0}^{+\infty} \left(i+j\right) a_i b_j X^{i+j-1} \textrm{ par linéarité de la dérivation}\\ &=& \sum_{i+j=0}^{+\infty} i a_i b_j X^{i-1}X^j + \sum_{i+j=0}^{+\infty} j a_i b_j X^{i}X^{j-1} \newline &=& P'Q + PQ'.\end{aligned}\]

Dérivées successives

(Polynôme dérivé d’ordre \(n\)).
Soit \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme. On définit par récurrence la dérivée \(n\)-ième (ou d’ordre \(n\)) de \(P\) par :
  • \(P^{(0)}=P\)

  • \(\forall n\in\mathbb{N}, \quad P^{(n+1)}=\left[P^{(n)}\right]'\)

Prenant un peu d’avance sur le chapitre [chapitre_ev], on peut dire que l’application \[D_n: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{K}\left[X\right] \newline P & \longmapsto & P^{\left(n\right)} \end{array} \right.\] est linéaire comme composée de \(n\) applications linéaires.
(Formule de Leibniz pour les polynômes).
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) deux polynômes. On a : \[\boxed{\left(PQ\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}P^{(n-k)}Q^{(k)}}.\]
C’est la même démonstration que celle écrite pour les fonctions \(n\) fois dérivables, voir page [Formule_de_Leibniz], proposition [Formule_de_Leibniz].
Il est important de bien comprendre le calcul suivant : \[\left(X^p\right)^{\left(n\right)}=\begin{cases} 0 &\textrm{ si } n>p\newline {\scriptstyle p!\over\scriptstyle\left(p-n\right)!}X^{p-n}=A_n^p X^{p-n} &\textrm{ sinon } \end{cases}.\]
(Formule de Taylor pour les polynômes).
Soit \(P\) un polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\) et \(a\in\mathbb{K}\). Alors : \[\boxed{P=\sum_{k=0}^n {\scriptstyle P^{(k)}\left(a\right)\over\scriptstyle k!}\left(X-a\right)^k}.\]
Soit \(P = \sum_{p=0}^n a_p X^p = \sum_{p=0}^n a_p Q_p\).
  • Soit \(p\leqslant n\). La formule est vraie pour le polynôme \(Q_p=X^p\). En effet, \(Q_p^\prime=pX^{p-1},\ldots, Q_p^{\left(k\right)} = p(p-1)\ldots (p-k+1)X^{p-k}\).

  • Maintenant, grâce à la formule du binôme de Newton : \[\begin{aligned} Q_p = X^p=\left(\left(X-a\right)+a\right)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} a^{p-k }\left(X-a\right)^k=\sum_{k=0}^p {\scriptstyle\left(X-a\right)^k\over\scriptstyle k!} {\scriptstyle p!\over\scriptstyle\left(p-k\right)! } a^{p-k } = \sum_{k=0}^p {\scriptstyle\left(X-a\right)^k\over\scriptstyle k!} Q_p^{\left(k\right)}\left(a\right).\end{aligned}\]

  • En rajoutant des termes nuls, \(Q_p = \sum_{k=0}^n {\scriptstyle\left(X-a\right)^k\over\scriptstyle k!} Q_p^{\left(k\right)}\left(a\right)\).

  • Enfin, par linéarité, \[\begin{aligned} P &= \sum_{p=0}^n a_p Q_p \\ &= \sum_{p=0}^n a_p \sum_{k=0}^n {\scriptstyle\left(X-a\right)^k\over\scriptstyle k!} Q_p^{\left(k\right)}\left(a\right) \\ &= \sum_{k=0}^n {\scriptstyle\left(X-a\right)^k\over\scriptstyle k!} \sum_{p=0}^n a_p Q_p^{\left(k\right)}\left(a\right) \newline &= \sum_{k=0}^n {\scriptstyle\left(X-a\right)^k\over\scriptstyle k!} P^{\left(k\right)}\left(a\right).\end{aligned}\]

Soient \(r\in\mathbb{N}^*\) et \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\). Soit \(a\in\mathbb{K}\). Si \(a\) est une racine d’ordre \(r\) de \(P\) alors \(a\) est une racine d’ordre \(r-1\) de \(P'\).
Comme \(a\) est une racine d’ordre \(r\) de \(P\), il existe \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que : \(P=\left(X-a\right)^r Q\) et \(Q\left(a\right)\neq 0\). Par conséquent : \[P'\left(a\right)=r\left(X-a\right)^{r-1}Q+\left(X-a\right)^rQ'=\left(X-a\right)^{r-1}\underbrace{\left(rQ+\left(X-a\right)Q'\right)}_{=B}\] et on a clairement \(B\left(a\right)\neq 0\) ce qui prouve le lemme.
(Caractérisation des racines multiples ).
Soient un polynôme \(P\in \mathbb{K}\left[X\right]\), un scalaire \(a\in\mathbb{K}\) et un entier \(r>0\). On a équivalence entre :
  1. \(a\) est une racine d’ordre \(r\) de \(P\).

  2. \(\boxed{P\left(a\right)=P'\left(a\right)=\dots=P^{\left(r-1\right)}\left(a\right)=0}\) et \(\boxed{P^{\left(r\right)}\left(a\right)\neq 0}\).

  • Par application du lemme, si \(a\) est une racine d’ordre \(r\) de \(P\) alors \(a\) est une racine d’ordre \(1\) de \(P^{\left(r-1\right)}\) et d’ordre \(0\) de \(P^{\left(r\right)}\) donc \(P\left(a\right)=P'\left(a\right)=\dots=P^{\left(r-1\right)}\left(a\right)=0\) et \(P^{\left(r\right)}\left(a\right)\neq 0\).

  • Réciproquement, si \(P\left(a\right)=P'\left(a\right)=\dots=P^{\left(r-1\right)}\left(a\right)=0\) alors, par application de la formule de Taylor : \[P=\sum_{k=0}^n {\scriptstyle P^{(k)}\left(a\right)\over\scriptstyle k!}\left(X-a\right)^k=\left(X-a\right)^rB\] avec \(B\in\mathbb{K}\left[X\right]\) tel que \(B\left(a\right)\neq 0\).

Polynômes scindés

Définition

(Polynôme scindé sur \(\mathbb{K}\)).
Soit \(P\in\mathbb{K}\left[X\right]\) de degré \(p\). On dit que \(P\) est scindé sur \(\mathbb{K}\) si et seulement si il s’écrit : \[P=a_p \left(X-\alpha_1\right) \dots\left(X-\alpha_p\right)=a_p\prod_{k=0}^p \left(X-\alpha_k\right)\] où les scalaires \(\alpha_k\in\mathbb{K}\) sont les racines de \(P\) comptées avec leur multiplicité et \(a_p\) est le coefficient du terme dominant de \(P\).

Factorisation dans \(\mathbb{C}\left[X\right]\)

Jean le Rond D’Alembert, né à Paris le 16 novembre 1717 et mort à Paris le 29 octobre 1783Mathématicien Français. Il fut avec Diderot à l’origine de l’Encyclopédie qui se voulait une synthèse et une vulgarisation des connaissances de l’époque. Tous deux durent jouer à cache-cache avec la censure pour faire paraître cette œuvre monumentale. D’Alembert abandonna le projet, fatigué des controverses et se consacra à la partie mathématique. Son œuvre fut considérable en mécanique, astronomie et mathématiques. Il énonce le théorème fondamental de l’algèbre dans son Traité de dynamique en 1743. Musicien, il établit l’équation des cordes vibrantes. Enfant trouvé sur les marches d’une église, il n’eut pas droit aux obsèques religieuses, car considéré comme athée.
image

(Théorème fondamental de l’algèbre).
Soit \(P\) un polynôme de \(\mathbb{C}\left[X\right]\) de degré \(\geqslant 1\) (c’est-à-dire non constant) alors \(P\) possède au moins une racine dans \(\mathbb{C}\).
Il existe de nombreuses démonstrations. L’une d’entre elles est proposée dans l’exercice [dem_theo_fondamental_algebre] page [dem_theo_fondamental_algebre]. La première démonstration rigoureuse est due à Gauss (1799). Ce théorème est aussi appelé théorème de d’Alembert-Gauss.
Attention ce théorème est faux dans \(\mathbb{R}\). Par exemple \(P=X^2+1\) est non constant mais ne possède aucune racine dans \(\mathbb{R}\).
(Factorisation dans \(\mathbb{C}\left[X\right]\)).
Tout polynôme de \(\mathbb{C}\left[X\right]\) est scindé sur \(\mathbb{C}\), c’est-à-dire tout polynôme \(P\in\mathbb{C}\left[X\right]\) s’écrit sous la forme : \[\boxed{P=a_p .\left(X-\alpha_1\right) \dots\left(X-\alpha_p\right)}\] où les scalaires \(\alpha_k\) sont les racines de \(P\) comptées avec leur multiplicité et \(a_p\) est le coefficient du terme dominant de \(P\).
Supposons que \(P\) est non constant, sinon la propriété est évidente. Soient \(\alpha_1,\dots,\alpha_p\in\mathbb{C}\) la liste des racines de \(P\). Par application du théorème fondamental de l’algèbre cette liste est non vide. Il existe \(Q\in\mathbb{C}\left[X\right]\) tel que : \(P=\prod_{i=1}^p \left(X-\alpha_i\right)Q\). Si \(Q\) est non constant alors il possède une racine \(\alpha\) et \(\alpha\) est nécessairement aussi une racine de \(P\). Donc la liste \(\alpha_1,\dots,\alpha_p\) n’était pas celle de toutes les racines de \(P\), ce qui constitue une contradiction. Par conséquent, \(Q\) est un polynôme constant et la proposition est démontrée.
Une formulation équivalente du théorème fondamental de l’algèbre est la suivante :
Un polynôme \(P\in\mathbb{C}\left[X\right]\) de degré \(p\) possède \(p\) racines (comptées avec leur multiplicité) dans \(\mathbb{C}\).
C’est un corollaire immédiat de la proposition précédente.
Soit \(P = X^n - 1\). Pour tout \(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\), \(\zeta_k = \exp\left( {\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle n}\right)\) est une racine de \(P\). Donc \(P\) est divisible par chacun des \(X - \zeta_k\). Comme les \(\zeta_k\) sont distincts deux à deux, \(P\) est aussi divisible par leur produit : \(X^n - 1 = K \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} \left( X - \zeta_k \right)\). En regardant les degrés des deux membres, on a \(\deg K = 0\) c’est-à-dire que \(K\) est constant. En regardant les coefficients dominants on en déduit que \(K=1\) et donc \(\boxed{X^n - 1 = \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} \left( X - \zeta_k \right)}\) .

Interlude: polynômes conjugués

(Polynômes conjugués).
Soit \(P=a_0+a_1 X+\cdots+a_p X^p\in\mathbb{C}\left[X\right]\) un polynôme. On appelle conjugué de \(P\) le polynôme, noté \(\bar P\) et donné par : \[\overline P=\overline{a_0}+\overline{a_1} X+\cdots+\overline{a_p} X^p.\]
Soient \(P\), \(Q\in\mathbb{C}\left[X\right]\) et \(r\in\mathbb{N}\). On a :
  1. \(\overline{P+Q}=\overline{P}+\overline{Q}\),

  2. \(\overline{P\times Q}=\overline P \times \overline Q\),

  3. \(\forall \alpha \in\mathbb{C},\quad \overline{P\left(\alpha\right)}=\overline P \left(\overline \alpha\right)\),

  4. \(\overline{P^{\left(r\right)}}=\overline P^{\left(r\right)}\),

  5. \(P\in\mathbb{R}\left[X\right] \Longleftrightarrow P=\overline P\).

Démontrons par exemple le troisième point : Soient \(\alpha\in\mathbb{C}\) et \(P=a_0+a_1X+\dots+a_pX^p\in\mathbb{C}\left[X\right]\). On a: \[\overline{P\left(\alpha\right)}=\overline{a_0}+\overline{a_1}\overline{\alpha}+\dots+\overline{a_p}\overline{\alpha}^p \quad \textrm{ et} \quad\overline{P}\left(\overline \alpha\right) = \overline{a_0}+\overline{a_1}~\overline{\alpha}+\dots+\overline{a_p}~\overline{\alpha}^p\] d’où l’égalité.
Soient \(P\in\mathbb{C}\left[X\right]\) et \(r\in\mathbb{N}^*\). Soit \(\alpha\in\mathbb{C}\). On a équivalence entre :
  1. \(\alpha\) est une racine de \(P\) d’ordre \(r\).

  2. \(\overline{\alpha}\) est une racine de \(\overline P\) d’ordre \(r\).

On a la série d’équivalences : \[\begin{aligned} &&\alpha \textrm{ est une racine d'ordre $r$ de $P$}\\ &\Leftrightarrow&P\left(\alpha\right)=P'\left(\alpha\right)=\dots=P^{\left(r-1\right)}\left(\alpha\right)=0 \quad \textrm{ et} \quad P^{\left(r\right)}\left(\alpha\right)\neq 0\\ &\Leftrightarrow& \overline{P}\left(\overline{\alpha}\right)=\overline{P'}\left(\overline{\alpha}\right)=\dots= \overline{P^{\left(r-1\right)}}\left(\overline{\alpha}\right)=0 \quad \textrm{ et} \quad\overline{P^{\left(r\right)}}\left(\overline{\alpha}\right)\neq 0\newline &\Leftrightarrow& \overline \alpha \textrm{ est une racine d'ordre $r$ de $\overline P$}. \end{aligned}\]
Soit \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) un polynôme à coefficients réels. Si \(\alpha\) est une racine d’ordre \(r\) de \(P\) alors \(\overline \alpha\) est aussi une racine d’ordre \(r\) de \(P\).
C’est un corollaire immédiat de la proposition précédente.
On en déduit que les racines de \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) sont ou réelles ou complexes conjuguées.

Factorisation dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\)

(Factorisation dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\)).
Soit \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) un polynôme non nul. Alors, il existe \(\alpha_1,\ldots,\alpha_r\in\mathbb{R}\) non nécessairement deux à deux distincts, \(\left(b_1,c_1\right),\ldots,\left(b_s,c_s\right)\in\mathbb{R}^2\) non nécessairement deux à deux distincts tels que \(\Delta_l=b_l^2-4c_l<0\) pour tout \(\ell\in\llbracket 1,s\rrbracket\), et \(\lambda\in\mathbb{R}^*\) tels que : \[\boxed{P=a \prod_{k=1}^r \left(X-\alpha_k\right) \prod_{\ell=1}^s \left(X^2+b_\ell X+c_\ell\right)}.\]
D’après la proposition [poly_scinde_sur_C], \(P\) est scindé sur \(\mathbb{C}\) et ses racines sont, d’après la dernière remarque, ou réelles ou complexes conjuguées : \[P=a\left(X-\alpha_1\right)\dots\left(X-\alpha_p\right) \left(X-\omega_1\right)\left(X-\overline{\omega_1}\right) \dots\left(X-\omega_r\right)\left(X-\overline{\omega_r}\right)\]\(\alpha_1,\dots,\alpha_p\in\mathbb{R}\) sont les racines réelles de \(P\) et où \(\omega_1, \overline{\omega_1},\dots,\omega_r ,\overline{\omega_r}\) sont les racines complexes conjuguées de \(P\). On a, pour tout \(k\in\llbracket 1,r\rrbracket\)  : \[\left(X-\omega_k\right)\left(X-\overline{\omega_k}\right) = X^2-\left(\omega_k + \overline{\omega_k}\right) + \omega_k\overline{\omega_k}=X^2-2\mathop{\mathrm{Re}}\left(\omega_k\right)X+\left|\omega_k\right|^2=X^2-p_kX+q_k\] avec \(p_k,q_k\in\mathbb{R}\). Le résultat annoncé s’en suit.

Polynômes irréductibles, partie \(1\)

(Polynôme irréductible).
Soit \(P\in \mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme . On dit que \(P\) est irréductible si et seulement si :

\[P=QH \Rightarrow Q\in \mathbb{K}\quad \textrm{ ou} \quad H\in\mathbb{K}.\]

Autrement dit, un polynôme \(P\) non constant est irréductible si et seulement si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes proportionnels à \(P\).
(Les polynômes de degré \(1\) sont irréductibles).
Soient \(\alpha\in\mathbb{K}\) un scalaire et \(P=\left(X-\alpha\right)\) un polynôme de degré \(1\). Alors \(P\) est irréductible.
Soit \(P\) un polynôme de degré \(1\). \(P\) est clairement non constant et si \(Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\) est un diviseurs de \(P\) alors il existe \(H\in \mathbb{K}\left[X\right]\) tel que  : \(P=QH\). Par conséquent : \(1=\deg P = \deg Q +\deg H\). Une des deux possibilités suivantes est alors vraie :
  • \(\deg Q=1\) et \(\deg H=0\) donc \(Q\) est un polynôme proportionnel à \(P\)

  • \(\deg Q=0\) (et \(\deg H=1\)) et \(Q\) est un polynôme constant.

Par conséquent \(P\) est irréductible.
(Polynômes irréductibles de \(\mathbb{C}\left[X\right]\)).
Les polynômes irréductibles de \(\mathbb{C}\left[X\right]\) sont les polynômes de degré \(1\).
On vient de prouver que les polynômes de degré \(1\) sont irréductibles dans \(\mathbb{C}\left[X\right]\). Réciproquement, si \(P\in\mathbb{C}\left[X\right]\) est un polynôme irréductible de \(\mathbb{C}\left[X\right]\), montrons qu’il est de degré \(1\). Si ce n’était pas le cas, alors comme \(P\) est non nul :
  • soit \(\deg P>1\) et par application du théorème fondamental de l’algèbre, \(P\) possède au moins une racine \(\alpha\) dans \(\mathbb{C}\). Par conséquent le polynôme \(X-\alpha\) divise \(P\) et donc \(P\) n’est pas irréductible.

  • soit \(\deg P=0\) et dans ce cas \(P\) est un polynôme constant non nul et ne peut être irréductible.

Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction et la proposition est alors prouvée par l’absurde.
(Polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}\left[X\right]\)).
Les polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}\left[X\right]\) sont :
  • les polynômes de degré \(1\).

  • les polynômes de degré \(2\) dont le discriminant est négatif.

  • Les polynômes de degré \(1\) sont irréductibles dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\).

  • Soit \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) un polynôme de degré \(2\). Il est irréductible si et seulement si il n’est pas divisible par un polynôme de degré \(1\), c’est-à-dire si et seulement si il n’a pas de racine réelle, ce qui est équivalent à dire que son discriminant est strictement négatif.

  • Tout polynôme de degré \(\geqslant 3\) se décompose, d’après le théorème de factorisation dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\) , comme le produit de polynômes de degré \(1\) et de degré \(2\). Un tel polynôme ne peut être irréductible.

Relations coefficients-racines

(Polynômes symétriques élémentaires).
Soit \(\alpha_1,\ldots,\alpha_p\in\mathbb{K}\). On définit les polynômes symétriques élémentaires en les variables \(\alpha_1,\ldots,\alpha_p\) par : \[\begin{aligned} \sigma_1 &=& \alpha_1+\cdots+\alpha_p,\\ \sigma_2 &=& \sum_{i_1<i_2} \alpha_{i_1}\alpha_{i_2},\\ &\vdots& \newline \sigma_p &=& \alpha_1\cdots \alpha_p.\end{aligned}\] Plus précisément, pour tout \(k\in\llbracket 1,p\rrbracket\) \[\sigma_k = \sum_{i_1<\cdots<i_k} \alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_k}.\]
(Relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme).
Soit \(P=a_0+a_1 X+\cdots+a_p X^p\in\mathbb{K}\left[X\right]\) un polynôme scindé de degré \(p\). Soient \(\alpha_1,\ldots,\alpha_p\in\mathbb{K}\) les \(p\) racines de \(p\). On a : \[\forall k\in\llbracket 1,p\rrbracket, \quad \boxed{\sigma_k=\left(-1\right)^k{\scriptstyle a_{p-k}\over\scriptstyle a_p}}.\]
On démontre ces égalités en identifiant les coefficients des monômes de même degré dans l’égalité : \[P=a_p{\left(X-\alpha_1\right)\dots\left(X-\alpha_p\right)} = a_p\left(X^p -\sigma_1 X^{p-1} + \sigma_2 X^{p-2} + \dots+ \left(-1\right)^p \sigma_p\right)\]
  • En particulier, si \(p=2\), on a \[P=a_2\left(X-\alpha_2\right)\left(X-\alpha_1\right) = a_2\left(X^2 - \left(\alpha_1+\alpha_2\right)X + \alpha_1\alpha_2\right)\] et donc \[\sigma_1 = \alpha_1+\alpha_2 = -{\scriptstyle a_1\over\scriptstyle a_2} \quad \textrm{ et} \quad\sigma_2 = \alpha_1\alpha_2 = {\scriptstyle a_0\over\scriptstyle a_2}\]

  • Si \(p=3\), \[P=a_3\left(X-\alpha_1\right)\left(X-\alpha_2\right)\left(X-\alpha_3\right) = a_3\left(X^3 - \left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\right)X^2 + \left(\alpha_1\alpha_2 + \alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_3\right)X - \alpha_1\alpha_2\alpha_3\right)\] et \[\sigma_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = -{\scriptstyle a_2\over\scriptstyle a_3},\quad \sigma_2 = \alpha_1\alpha_2 + \alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_3={\scriptstyle a_1\over\scriptstyle a_3} \quad \textrm{ et} \quad \sigma_3 = \alpha_1\alpha_2\alpha_3 = -{\scriptstyle a_0\over\scriptstyle a_3}.\] On en tire les deux relations remarquables \[\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2=\sigma_1^2-2\sigma_2 \quad \textrm{ et} \quad{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\alpha_1}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\alpha_2}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\alpha_3}={\scriptstyle\sigma_3\over\scriptstyle\sigma_2}.\]

Arithmétique dans \(\mathbb{K}\left[X\right]\)

Nous allons définir le PGCD de deux polynômes, comme pour les entiers relatifs. Ici il y a une difficulté : que veut dire "plus grand" ? Cela veut dire avec le plus grand degré. Mais que se passe-t-il lorsqu’il y a deux polynômes de même degré en concurrence ? Cela ne se produit pas (ou alors ils sont associés) et c’est ce qu’il faut établir.

Diviseurs communs

(Propriétés de la divisibilité).
  • La relation divise   est transitive : \(\forall (P, Q, R) \in \mathbb{K}\left[X\right]^{3},\quad \left[P\mid Q \quad \textrm{ et} \quad Q\mid R\right]\Rightarrow P\mid R\).

  • Soit \(P, Q, R \in\mathbb{K}\left[X\right]\) et \(U,V\in\mathbb{K}\left[X\right]\). Alors : \(\left[P\mid Q \quad \textrm{ et} \quad P\mid R\right]\Rightarrow P\mid\left(UQ+VR\right)\).

Elle se fait comme celle de la proposition [prop_prop_divisibilite] page [prop_prop_divisibilite].
On note pour la suite :
  • \(d(P)\) l’ensemble des diviseurs du polynôme \(P\).

  • \(d(P,Q)=d(P)\cap d(Q)\) l’ensemble des diviseurs communs à \(P\) et à \(Q\).

On remarque que si \(D\in d(P,Q)\), alors tout polynôme associé à \(D\) est aussi dans \(d(P,Q)\).
Soit \(P\) un polynôme non nul. Alors \(d(P,0) = d(P)\).
Laissée en exercice.
Si \(P=BQ+R\) alors \(d(P,Q)= d(Q,R)\).
En effet, si \(D\in d(P,Q)\), alors \(D\mid Q\) et \(D\mid P-BQ\) donc \(D\mid Q\) et \(D\mid R\) donc \(D\in d(Q,R)\). On a montré que \(d(P,Q)\subset d(Q,R)\). Inversement, si \(D\in d(Q,R)\), alors \(D\mid Q\) et \(D\mid BQ+R\) donc \(D\mid Q\) et \(D\mid P\) donc \(D\in d(P,Q)\). Il s’ensuit que \(d(Q,R)\subset d(P,Q)\).
Soient \(P,Q\in\mathbb{K}\left[X\right]\), non tous les deux nuls. Alors il existe un unique polynôme \(D\in\mathbb{K}\left[X\right]\) unitaire tel que \(d(P,Q)=d(D)\).

Si \(D_1\) et \(D_2\) sont solutions alors \(d(D_1)=d(D_2)\) donc \(D_1\mid D_2\) et \(D_2\mid D_1\) donc ils sont associés. Ils sont unitaires et associés donc égaux.

Quitte à échanger \(P\) et \(Q\) on peut supposer \(Q\neq0\). Posons \(P_0=P\) et \(P_1=Q\). On réalise ensuite les divisions euclidiennes suivantes tant que les restes obtenus sont non nuls (c’est l’algorithme d’Euclide) :

\[\begin{array}{cccc} P_0 &=& P_1B_1+P_2 & \textrm{avec }\deg P_2<\deg P_1,\\ \ldots&&&\\ P_{m-2} &=& P_{m-1}B_{m-1}+P_m & \textrm{avec }\deg P_m<\deg P_{m-1},\newline P_{m-1} &=& P_m B_m+0. & \end{array}\]

Ce processus s’arrête puisqu’on a une suite strictement décroissante d’entiers naturels \(\deg P_1>\deg P_2> \ldots\). On a alors \(d(P,Q)=d(P_0,P_1)=\ldots=d(P_m,0)=d(P_m)\) Le polynôme \(D\) unitaire associé à \(P_m\) convient.

PGCD, théorèmes d’Euclide et de Bézout

Suivant les notations du précédent théorème, on considère le polynôme \(D\) unitaire tel que \(d(P,Q) = d(D)\). Tout diviseur commun à \(P\) et à \(Q\) divise \(D\). Donc son degré est inférieur ou égal à celui de \(D\). Ces considérations justifient la définition suivante.

(PGCD de deux polynômes).
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non tous les deux nuls. L’ensemble des diviseurs communs à \(P\) et \(Q\) admet un polynôme unitaire de plus grand degré noté \(P \wedge Q\). C’est le plus grand commun diviseur des polynômes \(P\) et \(Q\).
L’algorithme d’Euclide fournit un moyen de calcul du PGCD : on normalise le dernier reste non nul.
\(P \wedge Q = Q \wedge P\). Si un polynôme divise deux polynômes, alors il divise leur PGCD.
(Théorème de Bézout).
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non tous les deux nuls. Il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \[PU + QV = P \wedge Q.\]

Avant d’en donner une preuve, étudions un exemple.

\(P = X^5-2X^3-2X^2-3X-2,\;Q = X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X\). On descend avec l’algorithme d’Euclide :
 
\(\begin{array}{ccccccc} \textrm{dividende} && \textrm{quotient} && \textrm{diviseur} && \textrm{reste }\\ \hline X^5-2X^3-2X^2-3X-2 &=& 1 &\times& (X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X) &+& (3X^4-4X^3+X^2-4X-2)\\ X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X &=& (\dfrac13X-\dfrac59) &\times& (3X^4-4X^3+X^2-4X-2) &+& (-\dfrac59X^3-\dfrac{10}{9} X^2-\dfrac59X-\dfrac{10}{9}) \\ 3X^4-4X^3+X^2-4X-2 &=& (-\dfrac{27}{5}X+18) &\times& (-\dfrac59X^3-\dfrac{10}{9} X^2-\dfrac59X-\dfrac{10}{9}) &+& (18X^2+18) \\ -\dfrac59X^3-\dfrac{10}{9} X^2-\dfrac59X-\dfrac{10}{9} &=& (-\dfrac{5}{162}X-\dfrac{5}{81}) &\times& (18X^2+18) &+& 0 \end{array}\)
Le dernier reste non nul est \(18X^2+18\), qui normalisé, donne \(X^2+1\) comme PGCD de \(P\) et \(Q\).
Maintenant on remonte en partant de l’avant-dernière ligne :
\(18X^2+18 = 3X^4-4X^3+X^2-4X-2 - (-\dfrac{27}{5}X+18)\times (-\dfrac59X^3-\dfrac{10}{9} X^2-\dfrac59X-\dfrac{10}{9})\) d’où
\(18X^2+18 = 3X^4-4X^3+X^2-4X-2 - (-\dfrac{27}{5}X+18)\times \left[ X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X - (\dfrac13X-\dfrac59) \times (3X^4-4X^3+X^2-4X-2)\right]\) d’où
\(18X^2+18 = (1 + (-\dfrac{27}{5}X+18)\times (\dfrac13X-\dfrac59))\times (3X^4-4X^3+X^2-4X-2) - (-\dfrac{27}{5}X+18)\times ( X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X)\) soit
\(18X^2+18 = (-\dfrac95X^2+9X-9) \times (3X^4-4X^3+X^2-4X-2) - (-\dfrac{27}{5}X+18)\times ( X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X)\) d’où
\(18X^2+18 = (-\dfrac95X^2+9X-9) \times \left[ (X^5-2X^3-2X^2-3X-2) \\ \phantom{18X^2+18 = } - (X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X)\right] - (-\dfrac{27}{5}X+18)\times ( X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X)\) soit
\(18X^2+18 = (-\dfrac95X^2+9X-9) \times (X^5-2X^3-2X^2-3X-2) + \left[ (-\dfrac95X^2+9X-9) - (-\dfrac{27}{5}X+18)\right] \times ( X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X)\)
\(18X^2+18 = (-\dfrac95X^2+9X-9) \times (X^5-2X^3-2X^2-3X-2) + (-\dfrac95X^2 +\dfrac{82}{5}X-27) \times ( X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X)\) En divisant par \(18\) : \((-\dfrac{1}{10}X^2+\dfrac12X-\dfrac12) (X^5-2X^3-2X^2-3X-2) + (\dfrac{1}{10}X^2-\dfrac15X-\dfrac12) (X^5-3X^4+2X^3-3X^2+X) = X^2+1\).
L’exemple montre comment conduire la démonstration. On effectue une récurrence sur \(n = \min(\deg P,\deg Q)\).

Si \(n = -\infty\) ou \(n=0\) la propriété est claire.

Pour fixer les idées, on suppose que \(\deg P\geqslant \deg Q = n+1\). On écrit la division euclidienne de \(P\) par \(Q\). Il existe des polynômes \(B\) et \(R\) tels que \(P = BQ + R\) avec \(\deg R \leqslant n\). En utilisant la propriété de récurrence, on sait qu’il existe aussi deux polynômes \(U_1\) et \(V_1\) de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) tels que \(\Delta = U_1Q + V_1R\) avec \(\Delta = Q \wedge R\). Or \(\Delta = P \wedge Q\) d’une part, et d’autre part \(\Delta = U_1Q + V_1(P - BQ) = V_1P + (U_1- BV_1)Q\). D’où le résultat en prenant \(U = V_1\) et \(V = U_1- BV_1\).
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non tous les deux nuls. S’il existe trois polynômes \(U, V\) et \(D\) vérifiant \(PU + QV = D\), alors \(D\) est un multiple de \(\Delta = P \wedge Q\). En effet on écrit \(P = P_1\Delta\) et \(Q = Q_1\Delta\). On obtient alors \(D = (P_1U + Q_1V)\Delta\) donc \(\Delta \mid D\).
Soient \(A,B,C\in\mathbb{K}[X]\). Si \(C\) est unitaire alors \(AC\wedge BC = C (A\wedge B)\).
Posons \(\Delta=AC\wedge BC\) et \(D=A\wedge B\). On a \(DC\mid AC\) et \(DC\mid BC\) donc \(DC\mid \Delta\). Réciproquement \(D=AU+BV\) donc \(DC=ACU+BCV\) d’où \(\Delta\mid DC\).

Polynômes premiers entre eux

(Polynômes premiers entre eux).
On dit que deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à \(1\).
(Caractérisation des polynômes premiers entre eux).
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\). Deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) tels que \[PU+QV = 1.\]
Dans un sens c’est le théorème de Bézout. Dans l’autre, comme \(PU+QV = 1\), on en déduit que \(P\wedge Q\) divise \(1\). Il n’y a qu’un seul polynôme unitaire qui divise \(1\), c’est \(1\) lui-même.
(Lemme de Gauss).
Si \(P, Q\) et \(R\) sont trois polynômes vérifiant \(\begin{cases} \quad1 \quad P\mid QR\newline \quad 2 \quad P\wedge Q = 1 \end{cases}\) alors \(P\mid R\).
La condition \(P\wedge Q = 1\) permet d’écrire une relation de Bézout : \(PU+QV = 1\) qui multipliée par \(R\) donne \(PUR+QRV = R\). Maintenant la condition \(P\mid QR\) assure l’existence d’un polynôme \(A\) tel que \(AP = QR\) et donc \(PUR+APV = P(UR+AV) = R\) et donc \(P\) divise \(R\).
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non tous les deux nuls et soit \(D = P\wedge Q\). Alors \(\dfrac PD\) et \(\dfrac QD\) sont des polynômes et ils sont premiers entre eux.
On écrit \(P = P_1D\) et \(Q = Q_1D\). On a \(\dfrac{P}{D} = P_1\) et \(\dfrac QD = Q_1\). De plus, d’après la proposition [prop_factorisation_pgcd], \[D = P\wedge Q = P_1D\wedge Q_1D = D (P_1\wedge Q_1)\] puisque \(D\) est unitaire. Le résultat découle alors de l’intégrité de \(\mathbb{K}\left[X\right]\).
(Polynôme premier avec un produit).
Si un polynôme \(P\) est premier avec \(Q_1\) et avec \(Q_2\) alors il est premier avec \(Q_1Q_2\).
On écrit une relation de Bézout pour \((P,Q_1)\) : \(PU_1+Q_1V_1 = 1\) puis une autre pour \((P,Q_2)\) : \(PU_2+Q_2V_2 = 1\). On effectue le produit de ces deux égalités : \(P^2U_1U_2 + PU_1Q_2V_2 + PU_2Q_1V_1 + Q_1Q_2U_1U_2 = 1\) soit \(P(PU_1U_2 + U_1Q_2V_2 + U_2Q_1V_1) + Q_1Q_2(U_1U_2) = 1\), ce qui donne le résultat. Autre démonstration : Soit \(D\) un diviseur commun à \(P\) et à \(Q_1Q_2\). \(D\) est premier avec \(Q_1\), En effet, soit \(d\) diviseur commun à \(Q_1\) et \(D\). Comme \(d \mid D\) et \(D\mid P\), on a \(d\mid P\) et donc \(d\) diviseur commun à \(P\) et \(Q\) donc \(\deg d = 0\). Maintenant d’après le lemme de Gauss, \(D\mid Q_1Q_2\) et \(D \wedge Q_1 = 1\) donc \(D\mid Q_2\), donc \(D\mid P\wedge Q_2\), ce qu’il fallait démontrer.
Si un polynôme \(P\) est premier avec \(Q_1,Q_2,\ldots,Q_m\) alors il est premier avec leur produit.
Par une récurrence sans malice.
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non tous les deux nuls et premiers entre eux. Alors
  1. Pour tout entier \(m\), \(P\) est premier avec \(Q^m\).

  2. Pour tous entiers \(m\) et \(n\), \(P^n\) est premier avec \(Q^m\).

PPCM

Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non tous les deux nuls et soit \(D = P\wedge Q\). Alors \(\dfrac{PQ}{D}\) est un polynôme, multiple commun à \(P\) et à \(Q\).
On écrit \(P = P_1D\) et \(Q = Q_1D\). On a \(\dfrac{PQ}{D} = P_1Q = PQ_1\) ce qui établit le résultat.
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non tous les deux nuls et soit \(D = P\wedge Q\). Tout multiple commun à \(P\) et à \(Q\) est multiple de \(\dfrac{PQ}{D}\).
Soit \(M\) un multiple commun à \(P\) et à \(Q\). On écrit \(M = AP = AP_1D = BQ = BQ_1D\). Après simplification par \(D\) on a \(AP_1 = BQ_1\) avec \(P_1\) et \(Q_1\) premiers entre eux. Maintenant \(P_1\) divise \(BQ_1\) et \(P_1\wedge Q_1\). Donc d’après le lemme de Gauss, \(P_1\mid B\). Autrement dit, on peut écrire \(B = B_1P_1\). Donc \(M = BQ_1D = B_1P_1Q_1D = B_1\dfrac{PQ}{D}\). Ce qu’il fallait démontrer.

Cette propriété permet d’énoncer la

(PPCM).
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non tous les deux nuls. L’ensemble des polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) multiples communs de \(P\) et \(Q\) admet un polynôme unitaire de plus petit degré \(\mu\) noté : \(\mu = P \vee Q\). C’est le plus petit commun multiple des polynômes \(P\) et \(Q\).

ainsi que la

Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non tous les deux nuls. \[(P\wedge Q)\times (P \vee Q) \textrm{ est associé à } PQ.\]

ce qui fournit un procédé de calcul au PPCM de deux polynômes.

Polynômes irréductibles, partie \(2\)

Où l’on revient vers les polynômes irréductibles. Nous avions vu quels étaient les polynômes irréductibles de \(\mathbb{C}\left[X\right]\) ou ceux de \(\mathbb{R}\left[X\right]\). Le théorème fondamental de l’algèbre permet de décomposer tout polynôme de \(\mathbb{C}\left[X\right]\) ou \(\mathbb{R}\left[X\right]\) en produit de facteurs irréductibles. Mais qu’en est-il des polynômes irréductibles de \(\mathbb{Q}\left[X\right]\) ? Nous ne répondrons pas à cette (difficile) question, mais nous allons établir un résultat à la fois plus général et plus élémentaire (il se passe du théorème fondamental de l’algèbre que nous avons dû admettre). C’est le pendant pour les polynômes de la décomposition en facteurs premiers.

Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes irréductibles de \(\mathbb{K}\left[X\right]\). \(P\) et \(Q\) sont soit associés, soit premiers entre eux.
Soit \(D= P\wedge Q\). Comme \(D\mid P\) et que \(P\) est irréductible, alors \(D=1\) ou \(D\) est associé à \(P\). Dans le deuxième cas, comme \(D\mid Q\) et que \(Q\) est irréductible, alors \(D=1\) (impossible) ou \(D\) est associé à \(Q\). Donc \(P\) est associé à \(Q\).
(Décomposition en produit de facteurs irréductibles.).
Soit \(P\) un polynômes de \(\mathbb{K}\left[X\right]\) non nul. Il existe \(\alpha\in \mathbb{K}^*\), il existe \(m\in\mathbb{N}\), \(v_1,\dots,v_m\in\mathbb{N}^*\), \(m\) polynômes \(P_1,\ldots,P_m\) unitaires, irréductibles et deux à deux distincts tels que \[P = \alpha\prod_{k=1}^m P_k^{v_k}.\] De plus, les \(\alpha, m,v_k\) sont uniques et les \(P_k\) sont uniques à l’ordre près.
  • Le résultat est évident si \(P\) est constant. On suppose donc que \(P\) n’est pas constant et qu’il s’écrit \[P = \alpha\displaystyle\prod_{k=1}^mP_k^{v_k} = \beta\prod_{\ell=1}^nQ_\ell^{w_\ell}\] où les \(P_k\) et les \(Q_\ell\) sont des facteurs irréductibles, unitaires, deux à deux distincts et où \(v_1,\dots,v_m,w_1,\dots,w_n\in\mathbb{N}^*\).

    Déjà, \(\alpha\) est égal au coefficient dominant de \(P\), ainsi que \(\beta\), donc \(\alpha = \beta\). Nous allons établir que \(m=n\) et que la liste des \(P_k\) égale celle des \(Q_\ell\) .

    Remarquons que pour tout \(\ell\in\llbracket 1,n\rrbracket\), comme \(Q_\ell\) est irréductible et divise \(P\), il divise un des \(P_k\). Mais d’après la proposition précédente, comme les \(P_k\) sont irréductibles, \(Q_\ell\) est associé à un des \(P_k\) et les polynômes considérés étant tous unitaires, il est égal à un des \(P_k\).

    La liste des \(P_k\) est donc égale à celle des \(Q_\ell\) et on peut écrire

    \[P = \alpha\displaystyle\prod_{k=1}^mP_k^{v_k} = \alpha\prod_{\ell=1}^m P_\ell^{w_\ell}.\]

    Il reste à montrer que pour tout \(k\in\llbracket 1,m\rrbracket\), \(v_k=w_k\). Si tel n’était pas le cas, alors il existerait \(k_0\in\llbracket 1,m\rrbracket\) tel que, par exemple, \(v_{k_0}<w_{k_0}\). Alors on aurait \[\prod_{k\in\llbracket 1,m\rrbracket,k\neq k_0} P_k^{v_k}= P_{k_0}^{w_{k_0}-v_{k_0}} \prod_{\ell\in\llbracket 1,m\rrbracket,\ell \neq k_0}^m P_\ell^{w_\ell}\] et \(P_{k_0}\) diviserait \(P_{k_1}\) pour un certain \(k_1\in\llbracket 1,m\rrbracket\), \(k_1\neq k_0\). Mais \(P_{k_0}\) et \(P_{k_1}\) étant irréductibles et unitaires, ceci amènerait que \(P_{k_0}=P_{k_1}\) et contredirait le fait que les \(P_i\) sont deux à deux distincts. L’unicité de la décomposition est ainsi prouvée.

  • Elle se démontre par récurrence sur le degré. Tout polynôme non nul de degré \(\leqslant 1\) est soit constant, soit irréductible. On considère donc un polynôme non nul. Soit il est irréductible et il n’y a rien à faire, soit il peut s’écrire comme produit de deux polynômes de degré strictement inférieur et alors on applique la propriété de récurrence à chacun de ces deux polynômes.

Le chapitre fut copieux. Pour s’en convaincre, il convient de jeter un coup d’œ il au diagramme :

Bibliographie


    Barre utilisateur

    [ID: 75] [Date de publication: 28 décembre 2021 14:20] [Catégorie(s): Le cours de SUP ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




    Commentaires sur le cours

    Documents à télécharger

    L'article complet