Point fixe en dimension un

[ Théorème ]
Soit \(f : [a,b] \mapsto [a,b]\) une fonction contractante, c’est-à-dire une fonction \(k\)-lipschitzienne de rapport \(k \in [0, 1[\) : \[\forall (x,y) \in I, \quad \left|f(x)-f(y)\right| \leqslant k \lvert x-y \rvert .\] Alors :
  1. La fonction \(f\) possède un unique point fixe \(l \in [a, b]\).

  2. Pour tout \(u_0 \in I\), la suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers ce point fixe.

  3. La convergence est géométrique : \(\lvert u_n -l \rvert \leqslant C k^n\)\(C\) est une constante.

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