Forme \(n\)-linéaire

[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. On dit qu’une application \(\varphi: E^n \mapsto \mathbb{K}\) est \(n\)-linéaire si elle est linéaire par rapport à chaque variable, les autres étant fixées : \(\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em],~\forall (x_1,\dots, x_{i-1}, x_{i+1},\dots, x_n) \in E^n,~ \forall (x,y) \in E^2,~\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K} [2]\), \[\varphi(x_1,\dots, x_{i-1}, \lambda x + \mu y, x_{i+1},\dots, x_n) = \lambda \varphi(x_1,\dots, x_{i-1},x, x_{i+1}, \dots, x_n) + \mu \varphi(x_1,\dots, x_{i-1}, y, x_{i+1},\dots, x_n).\] Nous noterons \(\mathcal{L}^n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires sur l’espace \(E\).
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