Opérations élémentaires sur les colonnes

[ Théorème ]
  1. On ne modifie pas le déterminant d’une matrice si l’on retranche à une de ses colonnes \(C_j\) une combinaison linéaire des autres colonnes : \[\mathop{\rm det}(C_1,\dots,C_{j-1}, C_j - \displaystyle{\sum_{k\neq j}^{ }} \lambda_k C_k, C_{j+1},\dots, C_n) = \mathop{\rm det}(C_1,\dots, C_j, \dots, C_n).\] Lors du calcul d’un déterminant, pour expliquer les calculs, on code cette opération élémentaire sur les colonnes de façon algorithmique : \(\leftarrow C_j{C_j - \displaystyle{\sum_{k\neq j}^{ }} \lambda_k C_k}\).

  2. Si l’on inverse deux colonnes d’une matrice, on change son déterminant en son opposé : \[\mathop{\rm det}(C_1,\dots, C_k,\dots, C_l,\dots, C_n) = - \mathop{\rm det}(C_1,\dots, C_l, \dots, C_k, \dots, C_n).\] On désigne cette opération élémentaire par : \(\leftrightarrow C_k{C_l}\).

 
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