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Autres propriétés du PGCD
[ Proposition ]
Soient trois entiers non nuls \((a, b, c) \in {\mathbb{Z}^*}^3\).
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Soient trois entiers \((\delta, a', b') \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{Z}^{2}\) tels que \(a = \delta a'\), \(b = \delta b'\), alors \[\bigl(\delta = a \wedge b\bigr) \Longleftrightarrow \bigl(a' \wedge b' = 1\bigr);\]
\(\begin{cases} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{cases} \Longleftrightarrow a \wedge (bc) = 1\) ;
\(\begin{cases} a \mid c \\ b \mid c \newline a \wedge b = 1 \end{cases} \Rightarrow ab \mid c\) ;
pour tout couple \((p, q) \in {\mathbb{N}^*}^2\), si \(a \wedge b = 1\), alors \(a^p \wedge b^q = 1\) ;
pour tout entier \(k \in \mathbb{N}^*\), \(a^k \wedge b^k = (a \wedge b)^k\).