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Inverse d’une matrice diagonale et d’une matrice triangulaire
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Une matrice diagonale \(D=\mathrm{Diag}\left(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\right)\) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Dans ce cas : \[D^{-1}=\mathrm{Diag}\left({\lambda_1}^{-1},\ldots,{\lambda_n}^{-1}\right)\]
Une matrice triangulaire supérieure \(T\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) de la forme : \[T=\begin{pmatrix} t_{11} & * & \dots & * \\ 0 & t_{22} & & \\ \vdots &\ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & t_{nn} \end{pmatrix}\]
est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, \(T^{-1}\) est de la forme : \[T=\begin{pmatrix} t_{11}^{-1} & * & \dots & * \\ 0 & t_{22}^{-1} & & * \\ \vdots &\ddots & \ddots & \vdots \newline 0 & \dots & 0 & t_{nn}^{-1} \end{pmatrix}.\]