Lecture zen
Déterminant d’ordre \(2\) et \(3\) d’une famille de vecteurs
[ Definition ]
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) muni d’une base \(e=\left(e_1,\dots,e_n\right)\).
En savoir plus
Si \(n=2\), on appelle déterminant dans la base \(e\) des vecteurs \(V_1\) et \(V_2\) de \(E\) et on note \(\mathop{\rm det}_e\left(V_1,V_2\right)\), le déterminant de la matrice formée par la famille \(\left(V_1,V_2\right)\) dans la base \(e\) : \(\textrm{ Mat}_{e}\left(V_1,V_2\right)\) : \[\mathop{\rm det}_{e}\left(V_1,V_2\right)=\mathop{\rm det}\textrm{ Mat}_{e}\left(V_1,V_2\right)\] En particulier, si : \(V_1=x_{1,1}e_1+x_{1,2}e_2\), \(V_2=x_{2,1}e_1+x_{2,2}e_2\) alors : \[\mathop{\rm det}_{e}\left(V_1,V_2\right)=\left| \begin{array}{cc} x_{1,1} & x_{2,1}\\ x_{1,2} &x_{2,2} \end{array} \right|=x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}\]
Si \(n=3\), on appelle déterminant dans la base \(e\) des vecteurs \(V_1\), \(V_2\) et \(V_3\) de \(E\) et on note \(\mathop{\rm det}_e\left(V_1,V_2,V_3\right)\), le déterminant de la matrice formée par la famille \(\left(V_1,V_2,V_3\right)\) dans la base \(e\) : \(\textrm{ Mat}_{e}\left(V_1,V_2,V_3\right)\) : \[\mathop{\rm det}_{e}\left(V_1,V_2,V_3\right)=\mathop{\rm det} \textrm{ Mat}_{e}\left(V_1,V_2,V_3\right)\] En particulier, si : \(V_1=x_{1,1}e_1+x_{1,2}e_2+x_{1,3}e_3\), \(V_2=x_{2,1}e_1+x_{2,2}e_2+x_{2,3}e_3\) et \(V_3=x_{3,1}e_1+x_{3,2}e_2+x_{3,3}e_3\) alors : \[\mathop{\rm det}_{e}\left(V_1,V_2,V_3\right)=\left| \begin{array}{ccc} x_{1,1} & x_{2,1}&x_{3,1}\\ x_{1,2} &x_{2,2}&x_{3,2}\newline x_{1,3} &x_{2,3}&x_{3,3} \end{array} \right|\] \[=x_{1,1}x_{2,2}x_{3,3}+x_{1,2}x_{2,3}x_{3,1}+x_{1,3}x_{2,1}x_{3,2}-x_{3,1}x_{2,2}x_{1,3} -x_{3,2}x_{2,3}x_{1,1}-x_{3,3}x_{2,1}x_{1,2}\] qui se calcule avec la règle de Sarrus.