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Déterminant d’une matrice de taille \(2\) ou \(3\)
[ Definition ]
On appelle déterminant de la matrice \(A=\left( \begin{array}{cc} a_{1,1}&a_{1,2}\\ a_{2,1}&a_{2,2} \end{array}\right)\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{K}\right)\) le scalaire de \(\mathbb{K}\), noté \(\mathop{\rm det}\left(A\right)\) et donné par : \[\mathop{\rm det}\left(A\right)= \left| \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} &a_{2,2} \end{array} \right|=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}\]
On appelle déterminant de la matrice \(A=\left( \begin{array}{ccc} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3} \end{array}\right)\in\mathfrak{M}_{3}\left(\mathbb{K}\right)\) le scalaire de \(\mathbb{K}\), noté \(\mathop{\rm det}\left(A\right)\) et donné par : \[\mathop{\rm det}\left(A\right)= \left| \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{2,1} &a_{2,2}&a_{2,3}\\ a_{3,1} &a_{3,2}&a_{3,3} \end{array} \right|=a_{1,1} \left| \begin{array}{cc} a_{2,2}&a_{2,3}\\ a_{3,2} &a_{3,3} \end{array} \right| - a_{2,1}\left| \begin{array}{cc} a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{3,2} &a_{3,3} \end{array} \right| + a_{3,1}\left| \begin{array}{cc} a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{2,2} &a_{2,3} \end{array} \right|=\] \[a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{3,1}a_{2,2}a_{1,3}-a_ {3,2}a_{2,3}a_{1,1}-a_{3,3}a_{2,1}a_{1,2}\] qui se calcule avec la règle de Sarrus. Voir remarque [regle_de_Sarrus] p. [regle_de_Sarrus].