Propriétés de la trace

[ Proposition ]
  • L’application \(\mathop{\mathrm{Tr}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right) & \longrightarrow & \mathbb{K} \newline A & \longmapsto & \mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right) \end{array} \right.\) est un forme linéaire. En particulier, si \(\alpha,\beta\in \mathbb{K}\) et si \(A,B\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\) alors \(\boxed{\mathop{\mathrm{Tr}}\left(\alpha A + \beta B\right) = \alpha\mathop{\mathrm{Tr}}\left(A\right) + \beta \mathop{\mathrm{Tr}} \left(B\right)}\).

  • \(\forall A,B \in \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right), \quad \boxed{\mathop{\mathrm{Tr}}\left(AB\right)=\mathop{\mathrm{Tr}}\left(BA\right)}\).

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