Un endomorphisme est entièrement déterminé par sa matrice dans une base

[ Proposition ]
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(e\) une base de \(E\). Alors, l’application \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{L}\left(E\right) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right) \newline u & \longmapsto & \textrm{ Mat}_{e}\left(u\right) \end{array} \right.\] est un isomorphisme d’anneaux et d’espaces vectoriels. En particulier, si \(M\in \mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\), il existe un unique endomorphisme \(u\in \mathfrak{L}\left(E\right)\) tel que \(\theta^{-1}\left(M\right)=u\). On dit que \(u\) est l’endomorphisme de \(E\) représenté par \(M\) dans la base \(e\).
En savoir plus