Une application linéaire est entièrement déterminée par sa matrice dans deux bases

[ Proposition ]
Soient: 
  1. \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(p\) et \(e=\left(e_1,\ldots,e_p\right)\) une base de \(E\).

  2. \(F\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(q\) et \(f=\left(f_1,\ldots,f_q\right)\) une base de \(F\).

l’application : \[\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{L}\left(E,F\right) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right) \newline u & \longmapsto & \textrm{ Mat}_{f\gets e}\left(u\right) \end{array} \right.\] est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En particulier, si \(M\in \mathfrak{M}_{q,p}\left(\mathbb{K}\right)\), il existe une unique application linéaire \(u\in \mathfrak{L}\left(E,F\right)\) telle que \(\theta^{-1}\left(M\right)=u\). On dit que \(u\) est l’application linéaire de \(E\) dans \(F\) représentée par \(M\) dans les bases \(e\) de \(E\) et \(f\) de \(F\).
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