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Développement d’un déterminant suivant une ligne ou une colonne
[ Théorème ]
Soit \(A=\left(a_{ij}\right)\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\).
Soit \(j_0\in\llbracket 1,n\rrbracket\). Alors : \[\begin{aligned} \mathop{\rm det}A &=& \sum_{i=1}^n a_{i,j_0}A_{i,j_0}\\ &=& \sum_{i=1}^n \left(-1\right)^{i+j_0}a_{i,j_0}\Delta_{i,j_0} \end{aligned}\]
Soit \(i_0\in\llbracket 1,n\rrbracket\). Alors : \[\begin{aligned} \mathop{\rm det}A &=& \sum_{j=1}^n a_{i_0,j}A_{i_0,j}\newline &=& \sum_{j=1}^n \left(-1\right)^{i_0+j}a_{i_0,j}\Delta_{i_0,j} \end{aligned}\]