Propriétés du déterminant d’un endomorphisme

[ Théorème ]

Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  de dimension \(n\), \(u\), \(v\) des endomorphismes de \(E\). On a :

  1. \(\boxed{\mathop{\rm det}\left(0_{\mathfrak{L}\left(E\right)}\right)=0_\mathbb{K}}\).

  2. \(\boxed{\mathop{\rm det}\left(Id_E\right)=1_\mathbb{K}}\)

  3. \(\boxed{\mathop{\rm det}\left(\lambda u\right)=\lambda^n \mathop{\rm det}\left(u\right)}\)\(\lambda\in\mathbb{K}\) est un scalaire.

  4. \(\boxed{\mathop{\rm det}\left(u\circ v\right)=\mathop{\rm det}\left(u\right)\times \mathop{\rm det}\left(v\right)}\).

  5. Caractérisation des automorphismes de \(E\) : \[\boxed{u\in GL_{ }\left(E\right) \Longleftrightarrow\mathop{\rm det}\left(u\right)\neq 0}\]

  6. Si \(u\in GL_{ }\left(E\right)\) alors \(\boxed{\mathop{\rm det}\left(u^{-1}\right)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\rm det}\left(u\right)}}\).

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