Propriétés du déterminant d’une matrice

[ Théorème ]

Soient \(A\), \(B\in\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)\)

  1. \(\boxed{\mathop{\rm det}\left(0_{\mathfrak{M}_{n}\left(\mathbb{K}\right)}\right)=0}\).

  2. \(\boxed{\mathop{\rm det}\left(I_n\right)=1}\).

  3. \(\boxed{\mathop{\rm det}\left(\lambda A\right)=\lambda^n\mathop{\rm det}\left(A\right)}\) où \(\lambda\in\mathbb{K}\).

  4. \(\boxed{\mathop{\rm det}\left(AB\right)=\mathop{\rm det}\left(A\right)\times \mathop{\rm det}\left(B\right)}\)

  5. Caractérisation des matrices inversibles : \[\boxed{A\in GL_{n}\left(\mathbb{K}\right) \Longleftrightarrow\mathop{\rm det}\left(A\right)\neq 0}.\] Autrement dit : le déterminant d’une matrice inversible est inversible

  6. Si \(A\) est inversible alors \(\boxed{\mathop{\rm det}\left(A^{-1}\right)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle\mathop{\rm det}\left(A\right)}}\).

  7. \(\boxed{\mathop{\rm det}\left({A}^{\mathrm{T}}\right)=\mathop{\rm det}\left(A\right)}\)

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