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Structure de l’ensemble des solutions d’une équation linéaire
[ Proposition ]
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels, \(u\in\mathfrak{L}\left(E,F\right)\) et \(b\in F\). On note \(\mathcal S\) l’ensemble des solutions de l’équation linéaire \(u\left(x\right)=b\) et \(\mathcal S_0\) l’ensemble des solutions de l’équation sans second membre :\(u\left(x\right)=0\). On a :
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\(\mathcal S_0\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) (et donc \(\mathcal S_0\) est non vide!).
Si \(S\neq \varnothing\) et si \(x_0\in S\) alors \(S=\left\{x_0+h ~|~ h\in S_0\right\}=x_0+S_0\)