Règles de calcul dans un espace vectoriel

[ Proposition ]
Soit \(\left(E,+,\cdot\right)\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Pour tous scalaires \(\alpha,\beta,\lambda \in \mathbb{K}\) et pour tous vecteurs \(x,y\in E\), on a

  1. \(0_{\mathbb{K}}\cdot x=0_E\)

  2. \(\left(-1\right)\cdot x = -x\)

  3. \(\left(-\lambda\right)\cdot x=-\left(\lambda\cdot x\right)=\lambda\cdot\left(-x\right)\)

  4. \(\left(\alpha-\beta\right)\cdot x = \alpha\cdot x - \beta \cdot x\)

  5. \(\lambda\left(x-y\right)=\lambda \cdot x - \lambda\cdot y\)

  6. \(\lambda\cdot 0_E=0_E\)

  7. \(\boxed{ \lambda\cdot x=0_E \quad\Longleftrightarrow\quad \left[\lambda=0_{\mathbb{K}} \quad \textrm{ ou} \quad x=0_E\right] }\)

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