Produit d’espaces vectoriels

[ Proposition ]
Soient \(\left(E_1,+,\cdot\right)\) et \(\left(E_2,+,\cdot\right)\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels. On définit sur l’ensemble \(E_1\times E_2\)

  • une addition \(+\) \[+: \left\{ \begin{array}{ccl} \left(E_1\times E_2\right)^2 & \longrightarrow & E_1\times E_2 \\ \left(\left(x_1,x_2\right),\left(y_1,y_2\right) \right) & \longmapsto & \left(x_1+y_1,x_2+y_2\right) \end{array} \right.\]

  • une multiplication par un scalaire \(\cdot\) \[\cdot: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}\times \left(E_1\times E_2\right) & \longrightarrow & E_1\times E_2 \newline \left(\alpha,\left(x_1,x_2\right) \right) & \longmapsto & \left(\alpha\cdot x_1,\alpha\cdot x_2\right) \end{array} \right. .\]

Alors \(\left(E_1\times E_2,+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Son vecteur nul est \(\boxed{\left(0_{E_1},0_{E_2}\right)}\).
En savoir plus