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Espace vectoriel \(\mathbb{K}^n\)
[ Proposition ]
Sur l’ensemble des \(n\)-uplets de scalaires \(\mathbb{K} [n]\), on définit
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une addition \(+\) \[+: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}^n\times \mathbb{K}^n & \longrightarrow & \mathbb{K}^n \\ \left(\left(x_1,\ldots,x_n\right), \left(x_1',\ldots,x_n'\right)\right) & \longmapsto & \left(x_1+x_1',\ldots,x_n+x_n'\right) \end{array} \right.\]
une multiplication par un scalaire \(\cdot\) \[\cdot: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{K}\times\mathbb{K}^n & \longrightarrow & \mathbb{K}^n \newline \left(\alpha,\left(x_1,\ldots,x_n\right)\right) & \longmapsto & \left(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n\right) \end{array} \right.\]
Muni de ces lois, l’ensemble \(\left(\mathbb{K}^n,+,\cdot\right)\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Son vecteur nul est le n-uplet \(\boxed{0_{\mathbb{K} [n]} = \left(0,\ldots,0\right)}\).