Caractérisation des sous-espaces supplémentaires

[ Théorème ]
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(\left(E,+,\cdot\right)\). On a équivalence entre :
  1. \(E=F\oplus G\) (c’est-à-dire \(F\) et \(G\) sont supplémentaires).

  2. \(\forall x\in E,\quad \exists~ ! \left(x_1,x_2\right)\in F\times G:\quad x=x_1+x_2\) (c’est-à-dire, vecteur de \(E\) se décompose de manière comme somme d’un vecteur de \(F\) et d’un vecteur de \(G\).)

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