Caractérisation des racines multiples

[ Théorème ]
Soient un polynôme \(P\in \mathbb{K}\left[X\right]\), un scalaire \(a\in\mathbb{K}\) et un entier \(r>0\). On a équivalence entre :

  1. \(a\) est une racine d’ordre \(r\) de \(P\).

  2. \(\boxed{P\left(a\right)=P'\left(a\right)=\dots=P^{\left(r-1\right)}\left(a\right)=0}\) et \(\boxed{P^{\left(r\right)}\left(a\right)\neq 0}\).

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