Anneau

[ Definition ]
Soit \(A\) un ensemble muni de deux loi de composition interne notées \(+\) et \(\times\). On dit que \((A,+,\times)\) est un anneau si et seulement si :

  1. Le couple \((A,+)\) est un groupe commutatif ;

  2. la loi \(\times\) est associative ;

  3. la loi \(\times\) est distributive par rapport à la loi \(+\) : \[\begin{aligned} \forall (x,y,z) \in A^3, \quad& x\times (y+z)= x\times y + x\times z \newline & (x+y)\times z = x\times z + y\times z; \end{aligned}\]

  4. il existe un élément neutre pour \(\times\), noté \(1\).

Si en plus la loi \(\times\) est commutative, on dit que \((A, +, \times)\) est un anneau commutatif.
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