Calcul d’une progression géométrique

[ Théorème ]
Soit un anneau \((A, +, \times)\) et un élément \(a\in A\). On considère un entier \(n\in \mathbb N\), \(n\geqslant 1\). De la formule de factorisation, on tire : \[\boxed{ 1-a^{n} = (1-a)(1+a+a^2+\dots + a^{n-1}) }\] En particulier, si l’élément \(a\) est nilpotent d’indice \(n\) : \(a^n=0\), alors l’élément \((1-a)\) est inversible pour la loi \(\times\) et on sait calculer son inverse : \[(1-a)^{-1}=1+a+a^2+\dots +a^{n-1}\]
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