Dérivées partielles d’ordre \(2\)

[ Definition ]
Soit \(U \subset \mathbb{R}^2\) un ouvert et \(f : U \mapsto \mathbb{R}\) une fonction numérique de classe \({\mathcal{C}}^[(1) ]{U, \mathbb{R} }\). On peut donc définir les fonctions dérivées partielles  : \[\dfrac{\partial f}{\partial x} : \left\{ \begin{array}{ccl} U & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ a & \longmapsto & \dfrac{\partial f}{\partial x}(a) \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad\dfrac{\partial f}{\partial y} : \left\{ \begin{array}{ccl} U & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ a & \longmapsto & \dfrac{\partial f}{\partial y}(a) \end{array} \right.\] On dit que \(f\) est de classe \({\mathcal{C}}^[(2) ]{U, \mathbb{R} }\) lorsque les \(2\) fonctions \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) sont de classe \({\mathcal{C}}^[(1) ]{U, \mathbb{R} }\). On note alors \[\dfrac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(a) = \dfrac{\partial \dfrac{\partial f}{\partial x}}{\partial x}(a),\quad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}(a) = \dfrac{\partial \dfrac{\partial f}{\partial y}}{\partial x}(a),\] \[\dfrac{\partial ^2 f}{\partial y^2}(a) = \dfrac{\partial \dfrac{\partial f}{\partial y}}{\partial y}(a),\quad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y \partial x}(a) = \dfrac{\partial \dfrac{\partial f}{\partial x}}{\partial y}(a).\]
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