Maximum

[ Definition ]
Soient \(f:U\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) et \(M_0\in U\). On dit que \(M_0\) est :
  • un maximum local (respectivement un maximum local strict) de \(f\) si et seulement si il existe un voisinage \(V\) de \(M_0\) dans \(\mathbb{R}^2\) tel que : \[\forall x\in V\cap U,\quad f\left(x\right)\leqslant f\left(M_0\right) \quad (\textrm{ respectivement } f\left(x\right)<f\left(M_0\right)\]

  • un minimum local (respectivement un minimum local strict) de \(f\) si et seulement si il existe un voisinage \(V\) de \(M_0\) dans \(\mathbb{R}^2\) tel que : \[\forall x\in V\cap U,\quad f\left(x\right)\geqslant f\left(M_0\right) \quad (\textrm{ respectivement } f\left(x\right)>f\left(M_0\right)\]

  • un extremum local si \(M_0\) est un maximum ou un minimum local.

  • un maximum global si : \[\forall x\in U,\quad f\left(x\right)\leqslant f\left(M_0\right)\]

  • un minimum global si : \[\forall x\in U,\quad f\left(x\right)\geqslant f\left(M_0\right)\]

  • un extremum global si \(M_0\) est un maximum ou un minimum global.

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